Лекция 3 Изоморфизм линейных пространств. Метрические, нормированные, Евклидовы пространства. Собственные вектора.

Презентация доступна здесь

Как мы знаем линейных пространств можно придумать довольно много, причем некоторые эти линейные пространства каким-то образом взаимосвязаны с другими. Так, на практике мы заметили, что система уравнений соотвествует некоторой матрице. Попробуем обобщить наши наблюдения в некоторой математической форме.

Изоморфизм линейных пространств

Пусть имеются два линейных пространства разной природы: V с операцией + и W с операцией ⊞. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства V и W изоморфны, если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если X ↔ X′ и Y ↔ Y′, то X + Y ↔ X′ ⊞ Y′ и λX ↔ λX′.

=>
При изоморфизме пространств V и W нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

Примечание: Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать.

Теорема

Доказательство

Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если {X₁, …, Xᵈ} — какой-то базис V, то вектору X ∈ V поставим в соответствие набор его координат в этом базисе: X = x₁X₁ + ⋯ + xᵈXᵈ⇒ X ↦ [x₁, …, xᵈ] ∈ Rᵈ.

Исхожя из того факта, что Если dimV=d>0, то любая система из d линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна.

Примечание: Последний результат позволяет свести исследование свойств произвольного линейного пространства V к исследованию свойств пространства Rᵈ. Лишь бы только удалось нам найти базис пространства V, а также разложение произвольного вектора по этому базису. Однако некоторые теоретические заключения можно сделать, основываясь только лишь на фактах принципиального существования базиса и возможности разложения по нему произвольного вектора.

Что такое расстояние?

Прежде чем формально определять расстояние в произвольном пространстве, задайтесь вопросом: сколько клеток нужно пройти между двумя отмеченными клетками на шахматной доске? Ответ зависит от того, как именно разрешено двигаться. Ладья ходит только по горизонтали и вертикали — её кратчайший путь соответствует сумме смещений по строке и по столбцу. Король может двигаться и по диагонали — его кратчайший путь равен наибольшему из двух смещений. Если же измерять «по линейке», не обращая внимания на клетки вовсе, получится обычное евклидово расстояние. Три разных числа для одной и той же пары клеток — и все три по-своему корректны.

Позже в этой лекции мы увидим те же три расстояния как ℓ₁-, ℓ₂- и ℓ∞-нормы — им соответствуют разные по форме «единичные окружности» (ромб, круг и квадрат, см. рисунок в разделе о норме). Ни одна из этих метрик не «более правильная» — выбор зависит от задачи: перемещение по городским кварталам ближе к ρ₁, а расстояние по прямой — к ρ₂.

Метрическое пространство

Рассмотрим произвольное множество X. Функция ρ : X × X → [0, +∞) называется метрикой, если выполнены следующие три условия:

1. ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) для ∀ x, y ∈ X;
3. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) для ∀ x, y, z ∈ X. Свойство 3 называется неравенством треугольника.

Пара (X, ρ) называется метрическим пространством.

Метрика — это расстояние между элементами. Из определения следует, что метрическое пространство представляет собой произвольное множество с введённой на всевозможных упорядоченных парах элементов этого множества функцией, значение которой на данной паре считается расстоянием между элементами этой пары. Никакого дополнительного уточнения свойств множества X не требуется.

Приведём примеры метрических пространств.

Пример 1. Рассмотрим любое множество X. Если ввести на множестве пар элементов множества X функцию ρ, для которой:

• ρ(x, y) = 1 при x ≠ y,
• ρ(x, x) = 0 при всех x, y ∈ X,

то для неё выполнены все свойства метрики, поэтому (X, ρ) является метрическим пространством. Оно называется дискретным метрическим пространством, а сама метрика ρ называется дискретной.

В частности, в качестве множества X можно взять множество всех натуральных чисел N. В таком случае, если два числа не равны, то значение ρ на них равно 1, а в противном случае — нулю.

Пример 2. Рассмотрим множество R² всех пар действительных чисел. Как известно, R² является векторным пространством, поэтому его элементы будем обозначать жирным шрифтом. Если x = (x₁, x₂), а y = (y₁, y₂), где xᵢ, yᵢ ∈ R, i = 1, 2, то можно ввести метрику:

ρ₁(x, y) = |x₁ − y₁| + |x₂ − y₂|.

Напомним, что на лекциях по линейной алгебре мы ввели норму на пространстве R², которая задавалась равенством:

∥x∥₁ = |x₁| + |x₂|.

Легко видеть, что:

ρ₁(x, y) = ∥x − y∥₁.

Все свойства метрики легко проверяются. Свойство 3, например, следует из неравенства треугольника для норм, которое доказывалось на линейной алгебре:

ρ₁(x, y) = ∥x − y∥₁ = ∥x − z + z − y∥₁ ≤ ∥x − z∥₁ + ∥z − y∥₁ = ρ₁(x, z) + ρ₁(z, y).

Пример 3.

Можно, однако, ввести на R² метрику с помощью формулы, которая в аналитической геометрии задаёт расстояние между двумя точками с координатами (x₁, x₂) и (y₁, y₂), а именно:

ρ₂(x, y) = √((x₁ − y₁)² + (x₂ − y₂)²).

Эта метрика получается из евклидовой нормы ∥x∥₂ = √(x₁² + x₂²), которую мы ввели на линейной алгебре. То, что функция ρ₂ действительно является метрикой, проверяется, как и для ρ₁ в предыдущем пункте.

Примечание: Таким образом, мы видим, что на одном и том же множестве можно задавать разные метрики.

Понятие нормы

В примерах 2 и 3 мы использовали понятие векторного пространства, поэтому необходимо вспомнить это определение из курса линейной алгебры. Таким образом, множество X из определения метрического пространства рассматривалось с некоторыми ограничениями, так как мы указали, что это не просто произвольное множество, а векторное пространство.

На всякий случай напомним определение нормы, которое давалось в курсе линейной алгебры.

Пусть V — линейное пространство. Функция | · | : V → [0, +∞) называется нормой, если выполнены следующие условия:

1) | v | = 0 если и только если v = 0, то есть вектор v является нейтральным элементом векторного пространства V. 2) Для любого вещественного (или комплексного) числа λ и любого вектора v ∈ V выполнено равенство | λ v | = |λ| | v |. 3) Для любых x, y ∈ V выполнено неравенство треугольника: | x + y | ≤ | x | + | y |.

Линейное пространство V с введённой на нём нормой обозначается (V, |·|) и называется нормированным пространством.

Любое нормированное пространство можно сделать метрическим с метрикой ρ, задаваемой равенством:

ρ(x, y) = ∥x − y∥

Норма вводится только на векторных пространствах, поэтому класс нормированных пространств содержится в классе метрических.

Нормированное пространство

Пусть в линейном пространстве V определена функция, которая ставит в соответствие каждому вектору X ⊂ V вещественное число, называемое нормой вектора и обозначаемое ∥X∥; при этом функция подчиняется аксиомам:

1. если ∥X∥ = 0, то X = O;
2. ∥X + Y∥ ≤ ∥X∥ + ∥Y∥ для ∀ {X, Y} ⊂ V (неравенство треугольника);
3. ∥αX∥ = |α| ⋅ ∥X∥ для ∀ X ∈ V и ∀ α ∈ R, если пространство вещественно, и ∀ α ∈ C, если оно комплексно (однородность нормы).

Пространство V с введенной в нем нормой называется нормированным (линейным) пространством.

Из этих аксиом вытекает следующее свойство нормы, которое часто включают в состав аксиом.

Док-во: Действительно, из аксиомы 3 вытекает, что норма нулевого вектора должна быть равна 0:

∥O∥ = ∥0 ⋅ O∥ = 0 ∥O∥ = 0.

Из аксиом 2 и 3 тогда следует: 0 = ∥O∥ = ∥X - X∥ ≤ ∥X∥ + ∥-X∥ = 2∥X∥ => ∥X∥ ≥ 0 для ∀ X ∈ V.

В широком классе вещественных пространств норма может быть введена естественным образом.

Примечание: При этом любое нормированное пространство является метрическим, потому что можно взять вектор, соединяющий две точки, посмотреть на его длину и называть её расстоянием.

Различные способы задания нормы в одном и том же линейном пространстве порождают различные формы окрестности вектора (точки) этого пространства. Для примера изобразим 1-окрестность начала координат в R² (``единичный круг''):

Норма матрицы

Любую матрицу A порядка m × n с вещественными или комплексными элементами можно векторизовать, т.е. считать её вектором из Rᵐⁿ или из Cᵐⁿ. Любая норма, введённая в этих пространствах, породит и норму в линейном пространстве матриц.

Для матрицы A ∈ Cᵐˣⁿ евклидова норма вводится формулой:

∥A∥ₓ = √∑ₖₖ |aₖₖ|².

С использованием операции вычисления следа матрицы, эту формулу для вещественных матриц можно переписать в виде:

∥A∥ₓ = √Sp(A ⋅ Aᵀ) = √Sp(AᵀA).

Евклидово пространство

Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в этом пространстве определена функция, ставящая в соответствие паре векторов {X, Y} ⊂ E вещественное число, называемое скалярным произведением векторов X и Y, и обозначаемое ⟨X, Y⟩ или (X, Y). При этом функция подчиняется аксиомам:

1. ⟨X, Y⟩ = ⟨Y, X⟩ для {X, Y} ⊂ E;
2. ⟨X₁ + X₂, Y⟩ = ⟨X₁, Y⟩ + ⟨X₂, Y⟩ для {X₁, X₂, Y} ⊂ E;
3. ⟨λX, Y⟩ = λ⟨X, Y⟩ для {X, Y} ⊂ E, λ ∈ R;
4. ⟨X, X⟩ > 0 для ∀X ≠ O, ⟨O, O⟩ = 0.

Из аксиом 1 и 2 вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору:

2'. ⟨X, Y₁ + Y₂⟩ = ⟨X, Y₁⟩ + ⟨X, Y₂⟩ для {X, Y₁, Y₂} ⊂ E.

Пример Линейное пространство Rⁿˣⁿ вещественных квадратных матриц порядка n. Скалярное произведение введем формулой:

\[ \langle A, B \rangle = \sum_{j,k=1}^{n} a_{jk} b_{jk}. \]

На основании аксиом скалярного произведения, его вычисление для произвольных векторов \(X\) и \(Y\) может быть сведено к вычислению скалярных произведений векторов произвольного базиса. В самом деле, если система \(\{ X_1, \dots, X_n \}\) составляет базис пространства \(E\), то, разложив оба вектора по этому базису

\[ X = x_1 X_1 + \dots + x_n X_n \] и \[ Y = y_1 X_1 + \dots + y_n X_n, \]

получаем:

\[ \langle X, Y \rangle = \langle x_1 X_1 + \dots + x_n X_n, y_1 X_1 + \dots + y_n X_n \rangle \]

\[ = x_1 y_1 \langle X_1, X_1 \rangle + x_1 y_2 \langle X_1, X_2 \rangle + \dots + x_1 y_n \langle X_1, X_n \rangle \] \[ + x_2 y_1 \langle X_2, X_1 \rangle + x_2 y_2 \langle X_2, X_2 \rangle + \dots + x_2 y_n \langle X_2, X_n \rangle \] \[ + \dots \] \[ + x_n y_1 \langle X_n, X_1 \rangle + x_n y_2 \langle X_n, X_2 \rangle + \dots + x_n y_n \langle X_n, X_n \rangle. \]

Таким образом, выражение для скалярного произведения можно записать в матричной форме как:

\[ \langle X, Y \rangle = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle X_1, X_1 \rangle & \langle X_1, X_2 \rangle & \dots & \langle X_1, X_n \rangle \\ \langle X_2, X_1 \rangle & \langle X_2, X_2 \rangle & \dots & \langle X_2, X_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle X_n, X_1 \rangle & \langle X_n, X_2 \rangle & \dots & \langle X_n, X_n \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}. \]

Итак, при изменении векторов \(X\) и \(Y\) в последней формуле изменяются только строка и столбец координат, а промежуточная матрица остаётся неизменной. Задание этой матрицы, следовательно, полностью определяет скалярное произведение в \(E\). Фактически, задание скалярного произведения в разобранном выше примере пространства \(R^n\) по формуле

\[ \langle X, Y \rangle = X^\top A Y \]

можно рассматривать как частный случай этого при подходящем подборе базисных векторов.

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши — Буняковского является важным математическим результатом в линейной алгебре и теории векторных пространств. Оно выражает связь между скалярным произведением двух векторов и их длинами.

Пусть \( X \) и \( Y \) — два вектора в евклидово пространство (или пространство с внутренним произведением). Тогда выполняется неравенство Коши — Буняковского:

\[ |\langle X, Y \rangle| \leq |X| \cdot |Y|, \]

где:

• \( \langle X, Y \rangle \) — скалярное произведение векторов \( X \) и \( Y \),
• \( |X| \) и \( |Y| \) — длины (нормы) векторов \( X \) и \( Y \), то есть \( |X| = \sqrt{\langle X, X \rangle} \) и \( |Y| = \sqrt{\langle Y, Y \rangle} \).

Доказательство. Если \(Y = O\), неравенство тривиально (обе части равны нулю). Пусть \(Y \neq O\). Рассмотрим вспомогательную функцию вещественной переменной \(t\):

\[ f(t) = \langle X - tY,\ X - tY \rangle. \]

По аксиоме 4 скалярного произведения \(f(t) \geq 0\) при любом \(t\), поскольку это скалярный квадрат некоторого вектора. Раскроем скобки, используя линейность скалярного произведения:

\[ f(t) = \langle X, X \rangle - 2t \langle X, Y \rangle + t^2 \langle Y, Y \rangle. \]

Это квадратный трёхчлен относительно \(t\) с положительным старшим коэффициентом \(\langle Y, Y \rangle > 0\), который неотрицателен при всех \(t\). Значит, его дискриминант не может быть положительным:

\[ D = 4\langle X, Y \rangle^2 - 4 \langle X, X \rangle \langle Y, Y \rangle \leq 0. \]

Отсюда \(\langle X, Y \rangle^2 \leq \langle X, X \rangle \langle Y, Y \rangle\), и, извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[ |\langle X, Y \rangle| \leq \sqrt{\langle X, X \rangle} \cdot \sqrt{\langle Y, Y \rangle} = |X| \cdot |Y|. \qquad \blacksquare \]

Углом между векторами

Определение: Углом между векторами \( X \) и \( Y \) называется угол

\[ \varphi = \angle(X, Y) = \arccos \frac{\langle X, Y \rangle}{|X| \cdot |Y|} \]

В силу неравенства Коши — Буняковского, данное определение непротиворечиво: выражение под знаком арккосинуса всегда находится в диапазоне \([-1, 1]\).

Векторы \( X \) и \( Y \) называются ортогональными, если угол между ними равен \( \frac{\pi}{2} \), что эквивалентно:

\[ \langle X, Y \rangle = 0. \]

Данное определение является естественным обобщением понятия угла на плоскости и в трёхмерном пространстве. Хотя человеческий мозг не привык работать с размерностями, превышающими 3, эта абстракция находит практическое применение, например, в задачах информационного поиска и анализа данных.

Ортогонализация

Пусть \( \dim E = n \) и векторы \( \{ X_1, \dots, X_n \} \) составляют базис \( E \). Этот базис называется ортогональным, если векторы попарно ортогональны: \( X_j \perp X_k \) для \( j \neq k \).

Базис называется нормированным, если каждый его вектор имеет единичную длину: \( |X_j| = 1 \).

Базис называется ортонормированным, если он и ортогонален, и нормирован, то есть:

\[ \langle X_j, X_k \rangle = \delta_{jk}, \]

где \( \delta_{jk} \) — символ Кронекера.

Ортогональный базис будем обозначать как \( E_1, \dots, E_n \).

Вопрос: Чему равно расстояние между двумя векторами ортонормированного базиса?

В пространстве \( \mathbb{R}^n \) стандартным ортогональным базисом является базис, состоящий из векторов:

\[ e_j = \left[ 0, \dots, 0, \underbrace{1}_{\text{в } j\text{-м месте}}, 0, \dots, 0 \right]^T, \quad j \in \{1, \dots, n\}. \]

Существование ортогонального базиса в произвольном евклидовом пространстве требует дополнительного доказательства.

Доказательство

Предположим, что векторы линейно зависимы, т.е. существует линейная комбинация:

\[ \lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n = O. \]

Пусть домножим это равенство скалярно на \( X_1 \):

\[ \lambda_1 \langle X_1, X_1 \rangle + \dots + \lambda_n \langle X_1, X_n \rangle = 0. \]

Поскольку \( \langle X_1, X_j \rangle = 0 \) для \( j \in \{2, \dots, n\} \), получаем:

\[ \lambda_1 \langle X_1, X_1 \rangle = 0. \]

Так как \( X_1 \neq O \), то \( \langle X_1, X_1 \rangle \neq 0 \), следовательно, \( \lambda_1 = 0 \).

Аналогично можно доказать, что \( \lambda_j = 0 \) для всех \( j \), что противоречит предположению о линейной зависимости.

Таким образом, векторы \( X_1, \dots, X_n \) линейно независимы.

Введение в идею Собственных векторов и чисел

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \]

И умножим данную матрицу справа на какой-нибудь подходящий столбец.
Мне пришёл в голову вектор:

\[ b = \begin{bmatrix} -1 \\ -5 \end{bmatrix} \]

Вроде ничего примечательного — умножили матрицу \( A \) на вектор-столбец \( b \) и получили другой вектор-столбец:

\[ c = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Обычная векторная жизнь. Но в обществе таких векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты.

Возьмём вектор:

\[ v = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Выполним умножение:

\[ A v = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-1) + 6(2) \\ -1(-1) -1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 + 12 \\ 1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ -1 \end{bmatrix} \]

На последнем шаге вынесли константу:

\[ A v = 2 \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Что произошло?
В результате умножения матрицы \( A \) на вектор \( v \), данный вектор «восстал из пепла» с числовым коэффициентом \( \lambda = 2 \).
Это и есть собственный вектор с соответствующим собственным значением.

Собственные вектора и числа

Пусть \( A \) – квадратная матрица \( n \)-го порядка.
Ненулевой столбец

\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \]

удовлетворяющий условию

\[ A \cdot x = \lambda \cdot x, \quad (6.1) \]

называется собственным вектором матрицы \( A \).
Число \( \lambda \) в равенстве (6.1) называется собственным значением матрицы \( A \).
Говорят, что собственный вектор \( x \) соответствует (или принадлежит) собственному значению \( \lambda \).

Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы.
Определение (6.1) можно записать в виде:

\[ (A - \lambda E) \cdot x = 0, \]

где \( E \) – единичная матрица \( n \)-го порядка.
Таким образом, условие (6.1) представляет собой однородную систему \( n \) линейных алгебраических уравнений с \( n \) неизвестными \( x_1, x_2, \dots, x_n \):

\[ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n - \lambda x_1 = 0, \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n - \lambda x_2 = 0, \\ \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \dots + a_{nn} x_n - \lambda x_n = 0. \end{cases} \quad (6.2) \]

Так как нас интересуют нетривиальные решения (\( x \neq 0 \)) однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

\[ \det(A - \lambda E) = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix} = 0. \quad (6.3) \]

В противном случае, по правилу Крамера, система имеет единственное тривиальное решение \( x = 0 \).

Задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения:

\[ \det(A - \lambda E) = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix} = 0, \]

которое называется характеристическим уравнением матрицы \( A \). - Корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (6.3)) и только они являются собственными значениями матрицы. - По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет \( n \) (в общем случае комплексных) корней (с учетом их кратностей). - Собственные значения и собственные векторы существуют у любой квадратной матрицы. - Собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности),
а собственные векторы — неоднозначно. - Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называется спектром матрицы. - Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различны (все корни характеристического уравнения простые).

Свойства собственных векторов

Пусть \( A \) – квадратная матрица \( n \)-го порядка.

1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.
2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы

Для нахождения собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы
\( A \) порядка \( n \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Составить характеристический многочлен матрицы:

\[ \Delta_A (\lambda) = \det(A - \lambda E). \]

1. Найти все различные корни \( \lambda_1, \dots, \lambda_k \)
   характеристического уравнения \( \Delta_A (\lambda) = 0 \).
   Кратности корней \( n_1, n_2, \dots, n_k \) (где \( n_1 + n_2 + \dots + n_k = n \))
   определять не нужно.

2. Для каждого собственного значения \( \lambda = \lambda_1 \)
   найти фундаментальную систему решений \( \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_{n - r} \)
   однородной системы уравнений:

\[ (A - \lambda E) \cdot x = 0. \]

Здесь \( r = \operatorname{rg}(A - \lambda_1 E) \).
Для решения этой системы можно использовать стандартные методы нахождения
фундаментальной матрицы.

1. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы \( A \),
   отвечающие собственному значению \( \lambda_1 \):

\[ s_1 = C_1 \cdot \varphi_1, \quad s_2 = C_2 \cdot \varphi_2, \quad \dots, \quad s_{n - r} = C_{n - r} \cdot \varphi_{n - r}, \]

где \( C_1, C_2, \dots, C_{n - r} \) – произвольные ненулевые постоянные.

Совокупность всех собственных векторов, отвечающих \( \lambda_1 \),
образуют ненулевые столбцы вида:

\[ s = C_1 \cdot \varphi_1 + C_2 \cdot \varphi_2 + \dots + C_{n - r} \cdot \varphi_{n - r}. \]

В дальнейшем собственные векторы будем обозначать буквой \( s \).

1. Повторить шаги 3 и 4 для остальных собственных значений \( \lambda_2, \dots, \lambda_k \).

Пример расчета

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}. \]

1. Нахождение собственных значений

Сначала составим характеристический многочлен матрицы:

\[ \Delta(\lambda) = \det(A - \lambda E) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 3 & 8 - \lambda \end{pmatrix}. \]

Вычислим определитель:

\[ \Delta(\lambda) = (1 - \lambda)(8 - \lambda) - (-2)(3) = (1 - \lambda)(8 - \lambda) + 6. \]

Раскроем скобки:

\[ (1 - \lambda)(8 - \lambda) = 8 - \lambda - 8\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 9\lambda + 8. \]

Таким образом:

\[ \Delta(\lambda) = \lambda^2 - 9\lambda + 8 + 6 = \lambda^2 - 9\lambda + 14. \]

Приравниваем характеристический многочлен к нулю:

\[ \lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0. \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25. \]

Находим собственные значения:

\[ \lambda = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}. \]

Отсюда:

\[ \lambda_1 = \frac{9 + 5}{2} = 7, \quad \lambda_2 = \frac{9 - 5}{2} = 2. \]

1. Нахождение собственных векторов

Для \( \lambda_1 = 7 \)

Найдем собственный вектор \( v_1 \), решая систему:

\[ (A - 7E) \cdot x = 0 \quad \Longrightarrow \quad \begin{pmatrix} 1 - 7 & -2 \\ 3 & 8 - 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Упрощаем матрицу:

\[ \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}. \]

Запишем систему уравнений:

\[ \begin{cases} -6x_1 - 2x_2 = 0, \\ 3x_1 + x_2 = 0. \end{cases} \]

Из второго уравнения:

\[ x_2 = -3x_1. \]

Выберем \( x_1 = 1 \) (произвольная ненулевая величина), тогда \( x_2 = -3 \). Таким образом, собственный вектор:

\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \quad (\text{с точностью до произвольного множителя}). \]

Для \( \lambda_2 = 2 \)

Найдем собственный вектор \( v_2 \), решая систему:

\[ (A - 2E) \cdot x = 0 \quad \Longrightarrow \quad \begin{pmatrix} 1 - 2 & -2 \\ 3 & 8 - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Упрощаем матрицу:

\[ \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}. \]

Запишем систему уравнений:

\[ \begin{cases} -x_1 - 2x_2 = 0, \\ 3x_1 + 6x_2 = 0. \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ x_1 = -2x_2. \]

Выберем \( x_2 = 1 \), тогда \( x_1 = -2 \). Таким образом, собственный вектор:

\[ v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad (\text{с точностью до произвольного множителя}). \]

Итог

Собственные значения:

\[ \lambda_1 = 7, \quad \lambda_2 = 2. \]

Собственные векторы:

\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Домашнее задание

Доказать теорему: евклидова норма вещественной матрицы не меняется при умножении этой матрицы на произвольную ортогональную матрицу.