Лекция 2

Инструменты и статистики исследовательского анализа пространственных данных (ESDA)

Курс «Математические методы обработки и анализа пространственных данных», 5 семестр Кафедра информатики и геоинформационных технологий, МИИГАиК Злоников Роман Русланович · Лебедев Евгений Денисович

Аннотация

Лекция посвящена второму шагу пространственного анализа, исследованию данных. Рассматриваются инструменты, которыми аналитик пользуется до построения каких-либо моделей: фоновые картограммы, таблицы частот и гистограммы, оценки центра, формы и разброса распределения, диаграмма размаха и нормальный график квантилей. Затем от одной переменной совершается переход к двум: диаграмма рассеяния, ковариация и коэффициент корреляции. Вторая половина лекции отведена статистике выводов, без которой результаты исследовательского анализа нельзя перенести с выборки на генеральную совокупность: доверительным интервалам, стандартной ошибке и проверке значимости. Завершает лекцию вопрос о том, как проверить нормальность распределения географической переменной и что делать, если она не выполняется. Все определения сопровождаются расчётами на одном сквозном наборе данных и демонстрациями на реальных данных по регионам России.

Мотивация: много ли говорит среднее

Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в 2025 году по данным Росстата различалась по регионам России от до рублей. Если усреднить значения по 85 регионам, получится рублей. При этом медиана равна рублей: в половине регионов зарплата ниже этой величины. Ниже среднего по регионам зарплата оказывается в регионах из 85.

Одно число не описывает распределение. Требуется знать его форму, разброс, наличие выбросов и, поскольку данные пространственные, расположение значений на карте. Этим и занимается исследовательский анализ.

Что потребуется из лекции 1

Последовательность анализа: описание, исследование, объяснение.
Уровни измерения переменных: номинальный, порядковый, интервальный, относительный. От уровня зависит выбор статистического критерия.
Пространственная автокорреляция и нарушение допущения о независимости наблюдений.
Матрица пространственных весов и проблема изменяющейся пространственной единицы (MAUP).

План лекции

Что такое ESDA. Описательная, выводная и пространственная статистика
Картограммы (choropleth) и типы переменных
Распределения, гистограммы, оценки центра, формы и разброса
Выбросы и диаграмма размаха (box plot)
Двумерный анализ: диаграмма рассеяния, ковариация, корреляция
Изменение масштаба данных
Статистика выводов: параметрические и непараметрические методы, доверительные интервалы, проверка значимости
Нормальное распределение в географическом анализе

Сквозной набор данных

Через всю лекцию проходит один учебный набор: плотность населения (чел./км²) в восьми округах.

10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 40

Значение 40 введено намеренно как выброс. На этом наборе выполняются расчёты № 1–3 и № 5–7; расчёт № 4 использует отдельный набор из пяти округов. Набор условный и служит только для ручных вычислений; все карты и связанные графики построены на реальных данных.

Блок 1

Что такое ESDA. Описательная, выводная и пространственная статистика

Ключевое определение

Исследовательский анализ пространственных данных (Exploratory Spatial Data Analysis, ESDA) – набор вычислительных методов и методов визуализации для анализа пространственных данных путём применения классической описательной статистики (с динамической связью с картами ГИС и пространственными объектами) и выявления пространственных взаимодействий, отношений и закономерностей с использованием матрицы пространственных весов, проверки гипотез и различных показателей.

Методы и инструменты ESDA используются для:

описания и обобщения распределения пространственных данных
визуализации пространственного распределения
изучения пространственной автокорреляции (пространственных отношений и связей)
выявления пространственных выбросов
выявления кластеров
определения «горячих» и «холодных» точек

Описательная статистика

Набор процедур, обобщающих основные характеристики распределения посредством вычисления и построения: распределения частот; центра, рассеяния и формы (среднее, медиана и стандартное отклонение); стандартной ошибки; процентилей и квартилей; выбросов; коробчатых диаграмм; нормального графика КК.

Статистика выводов

Раздел статистики, специализирующийся на анализе образцов для формирования выводов обо всей генеральной совокупности.

Назначение описательной и пространственной статистики

Описательная статистика отвечает на вопросы вроде: какова величина среднего дохода в данной области? Сколько клиентов конкретного кафе живут в пределах 10 минут ходьбы? Однако такие характеристики сами по себе не отражают связей между результатами и пространственными объектами на карте – в этом сила ESDA: инструменты динамически связаны с картами, а значения атрибутов рассматриваются в привязке к местоположению.

Сила ESDA – в возможности извлекать знания благодаря интеллектуальному анализу данных (значения атрибутов привязаны к местоположению) и использовать широкий спектр графических методов в сочетании с картированием.

Пространственная статистика используется для: анализа географического распределения (центрографические измерения); анализа пространственных закономерностей; определения пространственной автокорреляции, горячих точек и выбросов; пространственной кластеризации; моделирования пространственных отношений; анализа пространственно-непрерывных переменных.

В классической статистике наблюдения должны быть независимыми, тогда как в пространственной статистике между наблюдениями обычно имеется пространственная зависимость – классическая статистика должна быть изменена, чтобы учесть это условие.

Связанные виды: карта, гистограмма и диаграмма размаха по регионам России

Переменная логарифмическая шкала

Щелчок по столбику гистограммы выделяет на карте регионы, попавшие в этот интервал; щелчок по региону показывает его столбик и положение на диаграмме размаха. В этом и состоит динамическая связь графиков с картой, которой ESDA отличается от обычной описательной статистики. Данные: 85 регионов; зарплата, ввод жилья и уровень безработицы за 2025 год, население и площадь на 1 января 2025 года (Росстат).

Из практики · где это есть в ГИС

GeoDa. Связывание и «кисть» (linking and brushing) составляют основу программы: выделение объектов на гистограмме, диаграмме рассеяния или диаграмме размаха мгновенно подсвечивает те же объекты на карте и во всех остальных окнах.
QGIS. Панель «Статистика» и алгоритм «Базовая статистика для полей» дают описательные статистики слоя. Плагин DataPlotly строит гистограммы, диаграммы размаха и рассеяния, связанные с выделением объектов на карте.
ArcGIS Pro. Диаграммы слоя (Charts) связаны с картой и таблицей атрибутов тем же способом.

Из учебника · практическая работа 2

В учебнике Грекусиса глава завершается двумя упражнениями на данных по округам Афин. В упражнении 2.1 инструментами ESDA отображается и анализируется распределение доходов: картограмма, гистограмма, диаграмма размаха, нормальный график КК, поиск выбросов. В упражнении 2.2 выполняется двумерный анализ расходов по уровню образования. Оба упражнения даны в двух вариантах: для ArcGIS и для GeoDa.

ПодумайтеСреднее значение дохода по городу известно. Какой вопрос о доходах невозможно задать, не имея карты?

Блок 2

Фоновые картограммы (choropleth)

Фоновые картограммы (хороплеты) – тематические карты, на которых оформление отображаемых областей зависит от значения соответствующей переменной; помогают получить графическое представление пространственного распределения значений по изучаемой области.

На фоновых картограммах отображаются две основные категории переменных:

пространственно-экстенсивные – отображение полигона выбирается в зависимости от измеренного значения, справедливого для всего полигона (общая численность населения, общее число домохозяйств);
пространственно-интенсивные – значения нормируются по площади или другой переменной (плотность населения, доход на душу населения).

Предпочтительнее использовать интенсивные переменные: полигоны на карте имеют разные размеры, и прямое сопоставление абсолютных значений может вводить в заблуждение – очень маленький и очень большой полигоны с одинаковой численностью населения будут отображаться одним цветом, тогда как по плотности они окажутся разного цвета. Картограмма не отображает статистик, но может многое рассказать; тем не менее научный анализ всегда должен сопровождаться статистическим анализом, подтверждающим надёжность результатов.

См. также: методы классификации значений при построении картограммы (естественные интервалы, квантили, равные интервалы, стандартное отклонение) – учебное пособие «Геоинформационные системы и технологии» (Бескид П. П., Куракина Н. И., Орлова Н. В., СПб.: РГГМУ, 2010), § 8.4 «Выбор метода классификации», с. 83–87.

Метод классификации Число классов 5

Одни и те же 85 регионов. Переключение с численности населения на плотность показывает, почему для картограмм предпочтительны интенсивные переменные. Переключение метода классификации показывает, насколько вид карты зависит от способа разбиения на классы: на полосе под картой каждая точка соответствует региону, вертикальные линии обозначают границы классов.

Когда картограмма уместна: три условия

Что требуется показать

Условие 1

Данные собраны по площадным единицам

Значения относятся к административным или иным территориальным единицам: регионам, районам, муниципалитетам.

Если нет: точечные объекты показывают значками, точечным способом или картой плотности.

Условие 2

Показатель относительный

Значение нормировано: на площадь, на численность населения или на другую содержательно подходящую величину.

Если нет: абсолютный показатель нормируют либо показывают картодиаграммой.

Условие 3

Явление образует непрерывную статистическую поверхность

Значение характеризует всю площадь единицы, а не отдельные её участки.

Если нет: применяют дазиметрический способ: закрашивается только та часть единицы, где явление действительно присутствует.

Картограмма уместна

Схема проверки применимости картограммы. Условия проверяются слева направо; первое невыполненное условие останавливает проверку и указывает на другой способ изображения. В списке над схемой собраны шесть случаев для разбора. Три условия приведены по статье Картетики о картах-хороплетах; способы, заменяющие картограмму, относятся к общей картографической практике.

Типичная ошибка

Абсолютный показатель (число жителей, число преступлений, число предприятий) закрашивается по полигонам разной площади. Такая карта отражает главным образом размеры и населённость единиц, а не изучаемое явление. Перед построением картограммы показатель нормируют: на площадь, на численность населения или на другую содержательно подходящую величину.

Методы классификации значений

Классификация – разбиение упорядоченного ряда значений на несколько классов, каждому из которых на карте соответствует один цвет. Картограф принимает два решения: сколько классов выделить и где провести границы между ними. Глаз уверенно различает от трёх до семи ступеней одного цвета, поэтому число классов выбирают в этих пределах. Положение границ определяется методом классификации; шесть наиболее употребительных методов описаны ниже.

Равные интервалы

Размах значений делится на $k$ частей одинаковой ширины:

h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k}

Уместен, когда значения распределены примерно равномерно и когда границы должны быть простыми: доли, проценты, температура.

Слабое место: при асимметричном распределении большинство объектов попадает в один класс, а часть классов остаётся пустой.

Квантили

В каждый класс попадает одинаковое число объектов, $n / k$ . Границами служат квантили: при четырёх классах квартили, при пяти квинтили.

Уместен, когда требуется показать положение объекта в ряду: верхнюю пятую часть регионов, нижнюю четверть.

Слабое место: ширина классов может различаться во много раз; близкие значения оказываются в разных классах, а далёкие в одном.

Естественные интервалы

Метод Дженкса подбирает границы так, чтобы значения внутри класса различались как можно меньше, а классы между собой как можно больше: минимизируется сумма квадратов отклонений значений от средних своих классов.

Уместен для отдельной карты, если на гистограмме видны сгущения и разрывы значений.

Слабое место: границы определяются конкретным набором данных, поэтому карты за разные годы несопоставимы; границы получаются некруглыми.

Стандартное отклонение

Границы откладываются от среднего с шагом в одно стандартное отклонение или в его долю:

\bar{x} \pm m \cdot s, m = 0, 5; 1; 1, 5; \dots

Уместен, когда распределение близко к нормальному и требуется показать, насколько объект отклоняется от среднего. Применяется расходящаяся цветовая шкала с нейтральным цветом в середине.

Слабое место: при асимметрии среднее и стандартное отклонение искажены выбросами, и классы ниже среднего могут оказаться пустыми.

Логарифмическая шкала

Границы образуют геометрическую прогрессию: каждая следующая больше предыдущей в одно и то же число раз.

b_{j} = x_{min} \cdot q^{j}, q = {(\frac{x_{max}}{x_{min}})}^{1 / k}

Уместна, когда значения различаются на порядки и важны кратные различия: плотность населения, численность жителей городов.

Слабое место: легенда труднее для чтения; метод применим только к положительным значениям.

Границы, заданные вручную

Границы назначает картограф по содержательным соображениям: ноль, среднее по стране, нормативное значение, круглые числа.

Уместны для серии карт за разные годы или по разным территориям, где классы должны совпадать, и при наличии порогов, имеющих самостоятельный смысл.

Слабое место: результат зависит от квалификации картографа; произвольные границы легко подобрать под желаемый вывод.

Чем измерить качество разбиения: показатель GVF

Качество классификации оценивают показателем соответствия дисперсии (goodness of variance fit, GVF). Сумма квадратов отклонений значений от средних своих классов сравнивается с суммой квадратов отклонений от общего среднего:

G V F = 1 - \frac{\sum_{j = 1}^{k} \sum_{i \in j} {(x_{i} - {\bar{x}}_{j})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}

Здесь ${\bar{x}}_{j}$ – среднее значение класса $j$ , $\bar{x}$ – общее среднее. Показатель изменяется от 0 до 1: чем ближе он к единице, тем однороднее классы. Метод естественных интервалов даёт наибольшее возможное значение GVF при заданном числе классов, поскольку именно эту величину он оптимизирует. Высокое значение GVF не делает карту удобной для чтения или сравнения, поэтому показатель служит одним из доводов, а не единственным критерием выбора.

Расчёт на сквозном наборе · три класса

Дано: 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 40; среднее 18; s ≈ 9,5; сумма квадратов отклонений от среднего 626

Равные интервалы: h = (40 − 10) / 3 = 10 → границы 20 и 30 → классы 10–20, 20–30, 30–40 → состав 7 · 0 · 1, средний класс пуст

Квантили: 8 / 3 ≈ 2,7 → границы после третьего и шестого значений, 13 и 18 → состав 3 · 3 · 2; значения 20 и 40 попали в один класс

Естественные интервалы: наибольшие разрывы между 13 и 15 и между 20 и 40 → состав 3 · 4 · 1

Стандартное отклонение: 18 ± 0,5 · 9,5 → границы 13,3 и 22,7 → состав 3 · 4 · 1

GVF для естественных интервалов: 1 − (4,7 + 14,8 + 0) / 626 ≈ 0,97; для квантилей: 1 − (4,7 + 4,7 + 200) / 626 ≈ 0,67

Метод	Границы	Состав классов	Объектов	GVF

Пять методов на одних данных

Переменная Число классов 5

Одна переменная, одно число классов, пять методов классификации. Под каждой картой указаны число регионов в классах от низшего к высшему, число пустых классов и показатель GVF. Для плотности населения равные интервалы и стандартное отклонение дают почти одноцветную карту, квантили и логарифмическая шкала раскрывают различия между регионами. При этом у равных интервалов показатель GVF близок к единице, а у квантилей мал: почти вся изменчивость плотности создаётся Москвой и Санкт-Петербургом, и любой метод, выделивший их в отдельные классы, получает высокую оценку. Карта с наибольшим GVF здесь наименее полезна; для зарплаты, распределённой ровнее, расхождение методов меньше.

Как выбрать метод

Свойство данных или задача карты	Метод
Значения распределены примерно равномерно; нужны простые границы	равные интервалы
Требуется показать место объекта в ряду: верхнюю пятую часть, нижнюю четверть	квантили
Отдельная карта; на гистограмме видны сгущения и разрывы	естественные интервалы
Распределение близко к нормальному; важно отклонение от среднего	стандартное отклонение
Значения различаются на порядки; длинный правый хвост	логарифмическая шкала
Серия карт за разные годы; имеются нормативные пороги	границы, заданные вручную

Перед выбором метода строят гистограмму переменной: её форма подсказывает решение быстрее любых правил.

Из практики · Картетика · когда хороплет уместен

В статье о картах-хороплетах названы три условия применимости: данные собраны по административным единицам; данные приведены к относительным показателям; явление образует непрерывную статистическую поверхность (схема выше). Число людей для хороплета не подходит, число людей на квадратный километр подходит. Рекомендуемое число классов составляет от трёх до семи; выбрать его помогает гистограмма, на которой видны сгущения и разрывы значений.

В статье о способах показа данных приведён наглядный случай: карта абсолютного числа смертей от болезней сердца в США выделяет только Калифорнию, Техас и Флориду, а после пересчёта на 10 тысяч жителей значения по штатам укладываются в диапазон от 16 до 29, и выделяются восток и юг страны.

Источники: Карта-хороплет или фоновая картограмма · Как показать данные на карте

Из практики · Картетика · методы классификации

Статья о методах классификации разбирает равные интервалы, естественные интервалы Дженкса, квантили, стандартное отклонение, логарифмическую шкалу и ручное задание границ на примере плотности населения 17 провинций Южной Кореи. При равных интервалах и пяти классах два класса остаются пустыми, а 15 провинций из 17 получают один цвет, поскольку Сеул резко отличается от остальных. Естественные интервалы заполняют все классы. Квантили удобны для выделения первых N объектов, но похожие значения могут попасть в разные классы.

Для серии карт за разные годы естественные интервалы неудобны: границы зависят от набора данных и меняются от карты к карте.

Источник: Методы классификации данных на карте

ПодумайтеК какому типу относится переменная «число зарегистрированных ДТП в районе»? Как превратить её в интенсивную и какой знаменатель выбрать?

Блок 3

Одномерный анализ: распределение частот, гистограмма, нормальное распределение

Распределение частот и гистограммы

Таблица распределения частот хранит категории, частоты, относительные частоты и накопленную частоту одной непрерывной интервальной переменной. Частота – количество появлений значения; относительная частота = частота / n; накопленная частота в последней строке равна 100%.

Гистограмма частотного распределения – по оси X категории, по оси Y частоты (относительные частоты); каждая частота представлена прямоугольником, площади которых пропорциональны частотам. Гистограммы используются для анализа распределения значений переменной, проверки нормальности, изучения формы, среднего, асимметрии и эксцесса; не путать с коробчатыми диаграммами.

Перед вычислением частот нужно выбрать количество интервалов – оно должно быть осмысленным: слишком много интервалов затрудняет интерпретацию, слишком мало – скрывает изменчивость данных.

Категории по численности населения	Частота	Относительная частота (%)	Накопленная частота (%)
600–699	2	13,33	13,33
700–799	3	20,00	33,33
800–899	5	33,33	66,67
900–999	3	20,00	86,67
1000–1199	2	13,33	100,00
n =	15	100,00

Таблица распределения частот: пример для n = 15 округов по численности населения.

Гистограмма распределения частот значений численности населения из таблицы. Последний интервал вдвое шире остальных, поэтому высота его столбика вдвое меньше: частоте пропорциональна площадь, а не высота.

Сколько интервалов выбрать: зарплата по 85 регионам

Число интервалов 9

Интервал, тыс. руб.	Частота	Отн., %	Накопл., %

Слишком малое число интервалов скрывает правый хвост распределения, слишком большое дробит гистограмму на отдельные столбики. Для ориентира показано число интервалов по правилу Стёрджеса

k = 1 + \log_{2} n

; это рекомендация, а не обязательное требование.

Нормальное распределение

Функция плотности вероятности для нормального распределения принимает два параметра: среднее значение и стандартное отклонение. В нормальном распределении 68% значений находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95% – в пределах двух (в обоих направлениях); вероятность значения больше суммы среднего и двух стандартных отклонений – не более 2,5%.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) широко используется в статистике, потому что многие физические явления имеют нормальное распределение – оно имеет нулевое среднее, единичное стандартное отклонение и симметричную форму. Не все колоколообразные гистограммы представляют нормальное распределение – оно характеризуется определённой скоростью убывания плотности от центра к хвостам.

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

Здесь $μ$ – среднее значение, $σ$ – стандартное отклонение. Нулевое среднее и единичное стандартное отклонение относятся к стандартному нормальному распределению, к которому любое нормальное распределение приводится стандартизацией.

Среднее μ 15 000 Стандартное отклонение σ 2 000

Функция плотности вероятности нормального распределения. Закрашенная площадь равна доле значений в пределах выбранного числа стандартных отклонений от среднего: 68%, 95% и 99,7%.

Из учебника · доход по 30 округам

Пусть среднее значение годового дохода по 30 городским округам составляет 15 000 долларов США, а стандартное отклонение равно 2 000 долларов. Если распределение дохода подчиняется нормальному закону (на практике это не так), то примерно в 68% округов, то есть почти в 20, доход находится в диапазоне от 13 000 до 17 000 долларов.

В скольких округах доход может превышать 19 000 долларов? Значение 19 000 отстоит от среднего на (19 000 − 15 000) / 2 000 = 2 стандартных отклонения. За пределами двух стандартных отклонений находится 5% объектов, по 2,5% с каждой стороны. Следовательно, доход выше 19 000 долларов могут иметь только 2,5% округов, в данном примере один.

Из практики · нормальный закон и геодезия

Нормальное распределение носит имя Карла Фридриха Гаусса не случайно. Гаусс обосновал его как закон распределения случайных ошибок измерений в работе 1809 года о движении небесных тел, где изложил и метод наименьших квадратов. В 1820-х годах он руководил триангуляцией Ганноверского королевства и применял этот аппарат для уравнивания геодезических сетей. На банкноте в 10 немецких марок рядом с портретом Гаусса были изображены колоколообразная кривая и фрагмент ганноверской триангуляционной сети.

Случайные ошибки многократных измерений одной величины распределены близко к нормальному закону; на этом основана вся теория математической обработки геодезических измерений.

Типичная ошибка

Гистограмма с одной вершиной и примерно симметричными склонами объявляется нормальным распределением «на глаз». Колоколообразную форму имеют многие распределения, отличающиеся от нормального скоростью убывания плотности в хвостах. Нормальность проверяют: по асимметрии и эксцессу, по нормальному графику КК (блок 5) и статистическими критериями.

Колоколообразная форма не означает нормальность: примеры

Шесть распределений с одинаковыми средним (0) и стандартным отклонением (1). Слева плотности на обычной шкале: все кривые имеют одну вершину и симметричные склоны. Справа те же плотности на логарифмической шкале: за пределами трёх стандартных отклонений кривые расходятся на порядки. Нормальное распределение показано пунктиром. Скорость убывания плотности в хвостах и отличает нормальный закон от прочих колоколообразных.

Распределение	Эксцесс	Дальше 3σ от среднего, %	Во сколько раз чаще, чем при нормальном	Частота

Последствие различия в хвостах. При нормальном законе значение, удалённое от среднего более чем на три стандартных отклонения, встречается один раз на 370 наблюдений. При распределении Лапласа такое значение встречается впятеро чаще, при треугольном не встречается вовсе. Эксцесс равен нулю только у нормального распределения; положительный эксцесс соответствует тяжёлым хвостам, отрицательный лёгким (определение эксцесса дано в блоке 4).

Тренажёр: выборка выглядит нормальной?

Объём выборки 500

Случайная выборка из выбранного распределения. Слева гистограмма и нормальная кривая с теми же средним и стандартным отклонением: на глаз согласие почти всегда выглядит приемлемым. Справа нормальный график КК: у выборки с тяжёлыми хвостами концы графика уходят от прямой, левый вниз, правый вверх; у выборки с лёгкими хвостами концы загибаются к горизонтали. Красным отмечены значения дальше трёх стандартных отклонений. При малом объёме выборки критерий часто не отклоняет нормальность даже там, где её нет: полезно уменьшить объём до 50 и несколько раз нажать «Новая выборка».

Три способа проверки нормальности

Асимметрия и эксцесс. У нормального распределения обе величины равны нулю (определения даны в блоке 4). Положительный эксцесс указывает на тяжёлые хвосты, отрицательный на лёгкие.
Нормальный график КК. Точки нормальной выборки лежат вдоль прямой; тяжёлые хвосты изгибают концы графика (блок 5).
Статистические критерии. Критерий Харке–Бера объединяет асимметрию и эксцесс в одну статистику. Критерий Шапиро–Уилка считается более чувствительным при малых выборках и имеется во всех статистических пакетах.

Критерий Харке–Бера

J B = \frac{n}{6} (A^{2} + \frac{E^{2}}{4})

Здесь $n$ – объём выборки, $A$ – асимметрия, $E$ – эксцесс. Если распределение нормально, статистика при большой выборке приближённо подчиняется распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы; гипотеза о нормальности отклоняется на уровне значимости 0,05 при $J B > 5, 99$ . Соответствующее p-значение равно $e^{- J B / 2}$ . Уровень значимости и p-значение разбираются в блоке 8.

Для сквозного набора $n = 8$ , $A \approx 1, 76$ , $E \approx 1, 91$ , откуда $J B = \frac{8}{6} (1, 76^{2} + \frac{1, 91^{2}}{4}) \approx 5, 36$ и p ≈ 0,069. Гипотеза о нормальности формально не отклоняется, хотя набор содержит явный выброс: при восьми наблюдениях критерий имеет малую мощность. Вывод о нормальности по малой выборке ненадёжен.

ПодумайтеРаспределение плотности населения по регионам России нормально? Какой признак на гистограмме из блока 1 позволяет ответить, не выполняя вычислений?

Блок 4

Оценки центра, формы и разброса. Процентили и квартили

Оценки центра

Среднее – обычное среднее арифметическое: сумма значений переменной, делённая на количество наблюдений:

\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

Медиана – значение, которое делит последовательность отсортированных значений пополам: 50% объектов больше медианы, 50% – меньше. Медиана делит гистограмму распределения частот на две равные части, среднее – точка баланса гистограммы.

При интерпретации среднего нужна осторожность: одно и то же среднее может быть результатом разных распределений, а выбросы значительно увеличивают асимметрию.

Медиана решает проблему выбросов, потому что основана на ранжированных позициях, а не на реальных значениях; экстремальные значения изменяют среднее и значительно увеличивают асимметрию распределения. В нормальном распределении медиана расположена в центре и совпадает со средним.

Точки можно перетаскивать

Среднее есть точка равновесия: ось с точками уравновешена на опоре. Медиана делит точки на две равные по числу группы. Перемещение крайней точки сдвигает опору, медиана при этом остаётся на месте.

Расчёт #1 · среднее и медианаДано: плотность населения (чел./км²) в 8 округах: 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 40
Среднее: x̄ = (10 + 12 + 13 + 15 + 16 + 18 + 20 + 40) / 8 = 144 / 8 = 18,0
Медиана: значения уже отсортированы, n = 8 (чётное) – берём среднее двух центральных: Me = (15 + 16) / 2 = 15,5
Влияние выброса: без округа со значением 40 среднее = 104 / 7 ≈ 14,9, а медиана = 15 – среднее сместилось на 3 единицы, медиана почти не изменилась
Вывод: среднее (18,0) больше медианы (15,5) – признак положительной асимметрии из-за выброса; для асимметричных распределений центр надёжнее описывает медиана

Оценки формы

Асимметрия – оценка симметричности распределения относительно среднего; эксцесс определяет крутизну кривой распределения.

Если правый хвост гистограммы растянут больше левого – распределение положительно асимметрично (например, распределение годового дохода на душу населения: немногие имеют очень высокий доход, у большинства доход меньше среднего); если растянут левый хвост – отрицательно асимметрично. Оценка асимметрии больше 1 или меньше −1 обычно указывает на асимметричное распределение.

Нулевой эксцесс указывает на близость к нормальному распределению; отрицательный эксцесс – более плоское распределение, положительный – более крутое.

В демонстрации справа асимметрия и эксцесс вычисляются по выборке следующим образом:

g_{1} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{σ^{3}}, g_{2} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{σ^{4}} - 3

Вычитание трёх в формуле эксцесса приводит значение для нормального распределения к нулю. Для зарплаты по регионам России асимметрия равна , для плотности населения : оба распределения резко положительно асимметричны.

Виды распределений с разной асимметрией и эксцессом. Среднее смещается в сторону длинного хвоста, медиана остаётся ближе к вершине. Выборки смоделированы, значения иллюстративные.

Оценки разброса

Диапазон – разность между наибольшим и наименьшим значениями переменной:

R a n g e = x_{m a x} - x_{m i n}

Отклонение от среднего – разность между каждым значением переменной и средним; сумма всех отклонений равна нулю:

D e v i a t i o n = x_{i} - \bar{x}

Дисперсия в выборке – сумма квадратов отклонений от среднего, делённая на n − 1 (возведение в квадрат преобразует отрицательные отклонения в положительные):

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

Для генеральной совокупности (обозначается σ²) сумму квадратов делят на n:

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

Стандартное отклонение – корень квадратный из дисперсии:

s = \sqrt{s^{2}}, σ = \sqrt{σ^{2}}

Первая формула относится к выборке, вторая – к генеральной совокупности. Диапазон используется для оценки изменчивости; дисперсия и стандартное отклонение отражают среднее расстояние между наблюдениями и средним значением; стандартное отклонение проще интерпретировать, так как измеряется в тех же единицах, что и переменная.

В любом нормальном распределении: ~68% значений – в пределах одного стандартного отклонения от среднего, ~95% – в пределах двух, почти все – в пределах трёх.

Типичная ошибка

Дисперсия выборки делится на n вместо n − 1. По выборке оценивается разброс генеральной совокупности, и деление на n систематически занижает эту оценку: среднее вычислено по тем же данным, и независимыми остаются только n − 1 отклонений.

Расчёт #2 · размах, дисперсия, стандартное отклонениеДано: те же 8 округов: 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 40; среднее x̄ = 18 (Расчёт #1)
Размах: Range = 40 − 10 = 30
Отклонения от среднего: −8, −6, −5, −3, −2, 0, 2, 22. Проверка: сумма = 0 ✓
Квадраты отклонений: 64, 36, 25, 9, 4, 0, 4, 484. Сумма квадратов = 626
Дисперсия выборки: s² = 626 / (n − 1) = 626 / 7 ≈ 89,4; для генеральной совокупности: σ² = 626 / 8 ≈ 78,3
Стандартное отклонение: s = √89,4 ≈ 9,5 чел./км²
Вывод: типичное отклонение округа от среднего – около 9,5 чел./км²; один выброс (22² = 484) дал 77% всей суммы квадратов – дисперсия очень чувствительна к выбросам

Квадраты отклонений в буквальном смысле: сторона каждого квадрата равна отклонению значения от среднего, площадь равна квадрату отклонения. Дисперсия есть средняя площадь таких квадратов. Квадрат округа со значением 40 занимает 77% суммарной площади.

Процентили, квартили и квантили

Процентиль – значение в ранжированном распределении, ниже которого находится определённый процент наблюдений; всякое распределение имеет 100 процентилей. Квартили – 25-й, 50-й и 75-й процентили: нижний квартиль (Q1), медиана, верхний квартиль (Q3). Квантиль – значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью; если вероятность задана в процентах, квантиль называют процентилем.

Межквартильный размах (Interquartile Range, IQR) – разность между верхним и нижним квартилями:

I Q R = Q_{3} - Q_{1}

Межквартильный размах позволяет оценить изменчивость 50% объектов, сосредоточенных вокруг медианы. Например, если 20-й процентиль распределения имеет значение 999 – 20% наблюдений имеют значения меньше 999.

Выбросы не влияют на значения процентилей и квартилей, потому что они основаны на рангах объектов, а не на самих значениях.

Процентиль 20

85 регионов России, упорядоченных по среднемесячной зарплате. Положение ползунка 25, 50 и 75 соответствует нижнему квартилю, медиане и верхнему квартилю.

ПодумайтеВ отчёте указано: «средняя плотность населения по регионам составляет 144 чел./км²». Что не так с этой характеристикой и какой показатель центра следовало привести?

Блок 5

Выбросы, диаграмма размаха и нормальный график КК

Выбросы

Выбросы – самые крайние значения переменной. Их необходимо выявлять по трём причинам: они могут быть результатом ошибок измерения; искажают статистические результаты; могут скрывать важную информацию.

Наиболее распространённый способ выявления – отобразить распределение графически (гистограмма, box plot): изолированный столбик с края или сильная асимметрия – признак выбросов. Другой способ – считать выбросами значения, удалённые от среднего больше чем на 2,5 стандартных отклонения.

Следует проявлять осторожность, отмечая объект как выброс: удаление меняет среднее, стандартное отклонение и другие статистики. Иногда выбросы несут ценную информацию – например, аномалия в характеристиках использования кредитной карты может указывать на мошенничество.

Рекомендации по обработке выбросов: изучить исходные данные на предмет ошибок; попробовать преобразование переменной; удалить выброс или заменить его значение; временно исключить выброс, посчитать статистики, затем вернуть его в набор.

Из учебника · выбросы как сигнал

Резко отклоняющееся значение температуры в помещении указывает на возможность возгорания, что позволяет предпринять профилактические меры. Нетипичное значение в характеристиках использования кредитной карты может указывать на местоположение, отличное от обычного (например, другую страну), и, следовательно, на потенциальное мошенничество.

При изучении социально-экономического профиля городских округов округа с чрезвычайно высоким доходом на душу населения несут и другую ценную информацию, хранящуюся в остальных переменных. Полное удаление таких округов её уничтожает, поэтому разумнее исключать выбросы временно. Если выброс удалён или его значение заменено (например, значением, равным трём стандартным отклонениям), это следует особо отметить.

Из практики · озоновая дыра

В 1985 году сотрудники Британской антарктической службы Дж. Фарман, Б. Гардинер и Дж. Шанклин опубликовали в журнале Nature данные наземных измерений на станции Халли-Бей о резком весеннем падении содержания озона над Антарктидой. Спутниковый спектрометр TOMS на аппарате «Нимбус-7» регистрировал те же низкие значения с конца 1970-х годов, однако алгоритм обработки помечал значения ниже 180 единиц Добсона как сомнительные, и на итоговые карты они не попадали. После публикации спутниковые данные были пересмотрены и подтвердили существование озоновой дыры.

Автоматическое отбрасывание «невозможных» значений отложило одно из главных открытий в науках о Земле. Выброс следует сначала объяснить и только затем решать его судьбу.

Диаграмма размаха (box plot): устройство и интерпретация

Коробчатая диаграмма (box plot) – графическое представление ключевых описательных статистик распределения: медианы, разброса (в процентилях), выбросов.

Нижний квартиль Q1 и верхний квартиль Q3 ограничивают прямоугольник; расстояние между ними – IQR. Медиана обозначается линией внутри прямоугольника; если она не в центре – распределение асимметрично.

Объекты, удалённые от краёв прямоугольника дальше чем на 1,5×IQR, считаются выбросами; дальше 3,0×IQR – экстремальными выбросами, от 1,5 до 3,0×IQR – умеренными. «Усы» тянутся до последнего объекта, не считающегося выбросом.

Параллельные и «с выемками» box plot используются для сравнения распределений одной переменной в разных группах: если выемки на двух диаграммах не перекрываются – медианы различаются на уровне достоверности 95%.

Устройство диаграммы размаха на сквозном наборе из восьми округов. Значения упорядочены по возрастанию; отмечены квартили, медиана, усы, границы 1,5×IQR и 3×IQR и экстремальный выброс 40.

Расчёт #3 · квартили, IQR и границы выбросовДано: отсортированные значения: 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 40
Шаг 1. Квартили: нижняя половина (10, 12, 13, 15): Q1 = (12 + 13)/2 = 12,5; верхняя половина (16, 18, 20, 40): Q3 = (18 + 20)/2 = 19; медиана Q2 = 15,5
Шаг 2. IQR = Q3 − Q1 = 19 − 12,5 = 6,5
Шаг 3. Границы умеренных выбросов: Q1 − 1,5·IQR = 12,5 − 9,75 = 2,75; Q3 + 1,5·IQR = 19 + 9,75 = 28,75
Шаг 4. Границы экстремальных выбросов: Q3 + 3·IQR = 19 + 19,5 = 38,5
Шаг 5. Значение 40 > 38,5 – экстремальный выброс; остальные значения в пределах границ. «Усы» тянутся до последних не-выбросов: снизу до 10, сверху до 20
Вывод: квартили не сдвинулись бы, даже если бы 40 было 400 – границы box plot устойчивы к выбросам, в отличие от среднего и дисперсии
Квартили вычислены методом «медиана половины выборки». В QGIS и в библиотеках Python по умолчанию применяется интерполяция, поэтому значения квартилей могут немного отличаться; это не ошибка.

Значение восьмого округа 40

Статистика	При значении 40	При выбранном значении	Зависит от выброса

Таблица статистик сквозного набора. Подсвечены строки, значения которых изменились по сравнению с исходным набором. Статистики, основанные на рангах (медиана, квартили, межквартильный размах, границы диаграммы размаха), не реагируют на величину выброса; статистики, основанные на значениях (среднее, дисперсия, стандартное отклонение и всё, что вычисляется через них), реагируют. При n = 8 z-оценка единственного выброса не может превысить (n − 1)/√n ≈ 2,47, поэтому правило 2,5σ не обнаружит его ни при каком значении: выброс сам увеличивает стандартное отклонение, которым измеряется. Стандартная ошибка, доверительный интервал и проверка значимости разбираются в блоке 8.

Тренажёр: выбросы и диаграмма размаха

правило σ (среднее ± k·СКО) диаграмма размаха (IQR)

k = 2,5

нормаумеренный выбросэкстремальный выброс / выброс

Набор данных – условные значения годового дохода (тыс. у.е.) по округам, как в Практике 2. Щелчок по верхней части графика добавляет новую точку, значение считывается по оси X; щелчок по существующей точке удаляет её. При выборе правила и изменении порога точки и диаграмма размаха перекрашиваются и перестраиваются. Если добавить точку далеко справа (например, 45), среднее и СКО изменятся резко, а медиана и квартили почти не изменятся. При значениях по умолчанию (k = 2,5; множитель = 1,5) оба правила помечают как выброс одно и то же значение.

Аномалии в социально-экономической статистике регионов

Правила выявления выбросов применимы к любой региональной статистике. Выброс в таких данных допускает три объяснения, и выбор между ними составляет содержательную часть анализа:

действительная особенность территории: столичная агломерация, северные надбавки, сырьевая специализация;
особенность учёта: изменение методики, разовая регистрация того, что возникло раньше, иной охват наблюдения;
ошибка в данных: неверная единица измерения, опечатка, пропуск.

Аномалия бывает пространственной, когда регион выделяется среди остальных в одном году, и временной, когда один год выделяется в ряду одного региона. Ниже обе рассмотрены на данных Росстата.

Показатель

Регион	Значение	z-оценка	Выброс

умеренный выброс: дальше 1,5·IQR от границ прямоугольникаэкстремальный выброс: дальше 3·IQR

Пространственные аномалии: 84 региона, 2025 год. Ввод жилья рассчитан как отношение введённой за год общей площади жилых домов к численности населения на 1 января 2025 года; уровень безработицы приведён по выборочному обследованию рабочей силы; зарплата – среднемесячная номинальная начисленная. Источник исходных данных: Росстат.

ввод жилья, всегов том числе дома, построенные населениемумеренная аномалияэкстремальная аномалия

Временные аномалии. Над обведёнными столбиками указано, во сколько раз ввод жилья изменился к предыдущему году. Границы получены правилом диаграммы размаха, применённым не к уровням, а к логарифмам годовых темпов роста по 84 регионам за 2010–2025 годы (1 334 наблюдения). Данные о домах, построенных населением, приводятся с 2009 года. Источник: Росстат.

Из практики · ввод жилья в Республике Дагестан

С 2009 по 2017 год ввод жилья в республике вырос с 1,07 до 2,00 млн м². В 2018 году он составил 0,98 млн м², вдвое меньше; площадь домов, построенных населением, сократилась с 1,45 до 0,57 млн м². Следующие пять лет ряд держался около 1 млн м² в год.

В 2023 году введено 1,62 млн м²; о росте на 62% к предыдущему году сообщал первый заместитель председателя правительства республики. В 2024 году ввод достиг 2,90 млн м², из них 2,35 млн м² (81%) составили дома, построенные населением. По данным министерства строительства республики, за первое полугодие 2024 года площадь таких домов выросла в 8,7 раза к тому же периоду предыдущего года, а площадь многоквартирных домов на 8%. В 2025 году ввод снизился до 1,67 млн м².

Источники: таблицы Росстата «Ввод в действие жилых домов по регионам Российской Федерации» · ТАСС, сообщение о росте ввода жилья в 2023 году · РБК Кавказ, 26 июля 2024 года

Как читать такую аномалию

Четыре из восьми последних годовых изменений выходят за границы, установленные по регионам страны. Сам по себе этот факт не сообщает, изменилось строительство или его учёт. Скачок 2024 года почти целиком образован домами, построенными населением. Если такой дом попадает в статистику в год оформления, а не в год постройки, массовое оформление ранее возведённых домов даёт всплеск показателя без соответствующего всплеска строительства. Это предположение, которое требуется проверить.

Причины скачка 2024 года и двукратного снижения 2018 года в использованных источниках не названы. Правило выбросов указывает место, где следует задать вопрос к данным, и не заменяет ответа: нужны пояснения органа статистики о порядке учёта.

Сравнение групп: параллельные диаграммы с выемками

Коробчатая диаграмма с выемками используется для более точного графического сравнения. Протяжённость выемок соответствует 95%-ному доверительному интервалу медианы. Доверительный интервал вычисляется по формуле:

m e d i a n \pm 1, 57 \times \frac{I Q R}{\sqrt{n}}

Другими словами, высота выемок равна 3,14 × IQR, делённой на квадратный корень из размера выборки. Если выемки на двух параллельных коробчатых диаграммах не перекрываются, это свидетельствует о том, что медианы различаются на уровне достоверности 95%.

Если же выемки перекрываются, мы не можем утверждать, что различие между медианами статистически значимо. Для более точной оценки наличия статистически значимой разницы между медианами в двух группах следует использовать статистические критерии, такие как U-критерий Манна–Уитни.

показывать выемкиЩелчок по диаграмме выбирает округ для сравнения

Среднемесячная зарплата по регионам восьми федеральных округов (2025 год). Округа упорядочены по медиане. Выемка выбранного округа продолжена пунктиром через всю диаграмму: округа, выемки которых не пересекают эту полосу, отличаются по медиане на уровне достоверности 95%.

Нормальный график КК (квантиль-квантиль)

Нормальный график КК (Q–Q plot) отображает эмпирическое распределение данных относительно теоретического нормального распределения, которое представляется прямой линией под углом 45°.

Используется для сравнения фактического распределения данных с нормальным: если распределение переменной нормальное, точки располагаются близко к опорной линии.

Если точки данных существенно отклоняются от прямой и образуют кривую (особенно в начале или в конце графика), предположение о нормальности можно признать несостоятельным.

Построение выполняется в три шага. Значения упорядочиваются по возрастанию. Каждому значению с рангом i сопоставляется вероятность $p_{i} = (i - 0, 5) / n$ и квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий этой вероятности. По оси X откладываются теоретические квантили, по оси Y – стандартизованные наблюдаемые значения.

Переменная

Нормальный график КК по 85 регионам России. Для плотности населения точки образуют резко изогнутую кривую; после логарифмирования они ложатся близко к опорной линии.

ПодумайтеНа диаграмме размаха зарплат Камчатский край оказывается выбросом, а по правилу 2,5 стандартных отклонений нет. Какое из двух правил следует признать более надёжным для этих данных и почему?

Блок 6

Двумерный анализ: диаграмма рассеяния, ковариация, корреляция

Диаграмма рассеяния и матрица диаграмм рассеяния

Диаграмма рассеяния отображает значения двух переменных в виде точек в плоской системе координат; используется для выявления отношений между переменными и потенциальных выбросов. Если точки образуют линейный узор – между переменными есть линейная связь; если точки разбросаны по плоскости – линейная корреляция близка к нулю.

В ESDA диаграмма рассеяния – своеобразная карта: каждая точка соответствует отдельному пространственному объекту, и её можно связать с картой (выбор точки подсвечивает соответствующий полигон).

Матрица диаграмм рассеяния содержит все возможные комбинации пар диаграмм рассеяния при более чем двух переменных – облегчает обнаружение зависимых/независимых переменных, типа связи и выбросов.

логарифм плотности по оси X исключить Москву и Санкт-Петербург

—

коэффициент Пирсона r

—

коэффициент Спирмена ρ

—

число регионов

Плотность населения и среднемесячная зарплата по регионам России. Наведение на точку подсвечивает регион на карте, наведение на регион подсвечивает точку. На исходной шкале связь выглядит слабой положительной: её создают две точки, Москва и Санкт-Петербург. После логарифмирования плотности знак связи меняется на отрицательный: высокие зарплаты характерны для малонаселённых северных и дальневосточных регионов. Без Москвы и Санкт-Петербурга связь становится умеренной.

Ковариация и ковариационная матрица

Ковариация – мера линейной зависимости двух переменных (т. е. степень изменения одной переменной при изменении другой в том же линейном направлении). Ковариация выборки рассчитывается по формуле:

C o v (X, Y) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

Положительная ковариация – переменные растут вместе; отрицательная – изменяются в противоположных направлениях; нулевое значение говорит об отсутствии линейной связи между переменными.

Дисперсионно-ковариационная матрица содержит на диагонали дисперсии переменных, а на недиагональных позициях – ковариации соответствующих пар:

[\begin{matrix} s_{X_{1}}^{2} & C o v (X_{1}, X_{2}) & \dots & C o v (X_{1}, X_{p}) \\ C o v (X_{2}, X_{1}) & s_{X_{2}}^{2} & \dots & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & \dots & s_{X_{p}}^{2} \end{matrix}]

где p – общее количество переменных X. Матрица применяется во многих статистических процедурах: для получения собственных векторов и значений (анализ главных компонент), при вычислении коэффициентов корреляции.

Точки можно перетаскивать

Геометрический смысл ковариации. Каждая точка образует с точкой средних прямоугольник со сторонами

x_{i} - \bar{x}

y_{i} - \bar{y}

. Синие прямоугольники дают положительный вклад, оранжевые отрицательный. Ковариация равна сумме площадей с учётом знака, делённой на n − 1.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции Пирсона r(x, y) оценивает силу линейной связи двух переменных (X, Y) по шкале от −1 до +1 путём стандартизации ковариации и определяется формулой:

r (X, Y) = \frac{C o v (X, Y)}{s_{X} s_{Y}}

где $s_{X}$ , $s_{Y}$ – стандартные отклонения переменных X и Y. Шесть классов корреляции: сильная (>0,8 или <−0,8), умеренная (0,5–0,8 или −0,8…−0,5), слабая (0,3–0,5 или −0,5…−0,3); значения ближе к нулю не позволяют делать надёжные выводы о связи.

−1−0,8−0,5−0,30+0,3+0,5+0,8+1

Корреляция, близкая к нулю, указывает на отсутствие линейной связи, но не исключает существования нелинейной связи – это можно оценить только с помощью диаграммы рассеяния.

Корреляция – статистический критерий, значимость которого проверяется через p-значение; при включении корреляции в отчёты она всегда должна сопровождаться p-значением.

Важно помнить: корреляция – мера силы связи, а не причинности; большое значение коэффициента свидетельствует о наличии сильной связи, но не является доказательством причинно-следственной связи.

Расчёт #4 · ковариация и корреляцияДано: 5 округов, X – доход (тыс. руб.), Y – траты (тыс. руб.): X = (2, 4, 6, 8, 10), Y = (3, 5, 4, 8, 10). Средние: x̄ = 6, ȳ = 6
Шаг 1. Отклонения: dx = (−4, −2, 0, 2, 4); dy = (−3, −1, −2, 2, 4)
Шаг 2. Произведения dx·dy: 12, 2, 0, 4, 16. Сумма = 34. Cov = 34 / (5−1) = 8,5 – положительная: переменные растут вместе
Шаг 3. Стандартные отклонения: s²x = (16+4+0+4+16)/4 = 10 → sx ≈ 3,16; s²y = (9+1+4+4+16)/4 = 8,5 → sy ≈ 2,92
Шаг 4. Корреляция: r = Cov/(sx·sy) = 8,5 / (3,16 · 2,92) = 8,5 / 9,22 ≈ 0,92
Вывод: r ≈ 0,92 > 0,8 – сильная положительная линейная связь; но для отчёта нужно ещё p-значение (Расчёт #7), а причинность из корреляции не следует

Почему коэффициент нельзя читать без диаграммы: квартет Энскомба

Четыре набора данных, опубликованные Фрэнсисом Энскомбом в 1973 году. Средние, дисперсии, коэффициент корреляции и линия регрессии у них совпадают до второго знака, а структура различается: линейная связь, нелинейная связь, линейная связь с одним выбросом и связь, целиком созданная одной точкой.

Попарная корреляция, матрица корреляций, двумерный график КК

Парная корреляция – вычисление коэффициентов корреляции для всех пар переменных сразу; результат – квадратная матрица n×n, где недиагональные элементы – коэффициенты корреляции, диагональные равны 1.

На основе матрицы корреляций строится матрица графиков: в недиагональных элементах – диаграммы рассеяния пар переменных с линиями трендов, в диагональных – гистограммы для каждой переменной.

Нормальный график КК для двух переменных сопоставляет их квантили: если распределения переменных совпадают, точки лежат на линии 45°, в противном случае распределения отличаются.

Матрица графиков корреляций по 85 регионам: логарифм численности населения, логарифм плотности, зарплата, логарифм площади. На диагонали гистограммы, вне диагонали диаграммы рассеяния с линией тренда и коэффициентом Пирсона.

График КК для двух переменных: квантили стандартизованной зарплаты против квантилей стандартизованного логарифма плотности. Отклонение от линии 45° в правой части показывает, что правый хвост распределения зарплат длиннее.

Ранговая корреляция Спирмена

В демонстрациях этого блока наряду с коэффициентом Пирсона показан коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Он вычисляется как коэффициент Пирсона для рангов значений и при отсутствии совпадающих рангов сводится к формуле:

ρ = 1 - \frac{6 \sum_{i = 1}^{n} d_{i}^{2}}{n (n^{2} - 1)}

где $d_{i}$ – разность рангов i-го объекта по двум переменным. Коэффициент измеряет монотонную, а не только линейную связь и мало чувствителен к выбросам, поскольку основан на рангах.

См. также: формула коэффициента ранговой корреляции Спирмена и пример его расчёта на географических данных (ранжирование ландшафтов по рекреационной ценности) – учебное пособие «Математические методы в географии» (Чертко Н. К., Карпиченко А. А., Минск: БГУ, 2009), Гл. 5, §5.6, с. 85–87.

См. также: пример картирования локальной изменчивости коэффициента корреляции по территории («карты изокоррелят») – концептуальный мост к идее пространственно-варьирующихся статистических связей, которая будет раскрыта в одной из следующих тем курса – учебно-методическое пособие «Математические методы в географии» (Чертко Н. К., Карпиченко А. А., Минск: БГУ, 2009), Гл. 12 § 12.2 «Методика составления карт изокоррелят», с. 176–181.

Из практики · корреляция не есть причинность

Плотность и зарплата. Отрицательная связь между плотностью населения и зарплатой по регионам России не означает, что малая плотность повышает оплату труда. Обе величины зависят от третьего фактора, природных условий: на Крайнем Севере и Дальнем Востоке население редко, а к заработной плате применяются районные коэффициенты и северные надбавки.

Аисты и рождаемость. Роберт Мэтьюз в 2000 году показал, что по 17 европейским странам число гнездящихся пар аистов коррелирует с числом рождений: r = 0,62 при p = 0,008. Связь статистически значима и при этом бессмысленна: обе величины экстенсивные и растут вместе с площадью страны. Пример одновременно иллюстрирует два тезиса лекции: о скрытом третьем факторе и о вреде абсолютных показателей.

Из практики · Картетика · карты с двумя параметрами

Картографическим аналогом диаграммы рассеяния служит двумерная картограмма (bivariate choropleth): каждой единице присваивается цвет из двумерной палитры, например доход на душу населения по горизонтали и ожидаемая продолжительность жизни по вертикали. Такие карты лучше всего работают с порядковыми или числовыми данными и требуют частого обращения к легенде.

Там же сформулировано требование содержательной связи переменных: доход и образование связаны, поскольку действительно влияют друг на друга; связь «образование и цена арбузов» почти наверняка окажется случайной закономерностью.

Источник: Тематические карты с несколькими параметрами

Типичная ошибка

Коэффициент корреляции, близкий к нулю, толкуется как отсутствие связи. Нулевой коэффициент Пирсона исключает только линейную связь. Параболическая или иная немонотонная зависимость может быть сильной при r ≈ 0, что видно на втором наборе квартета Энскомба и обнаруживается только на диаграмме рассеяния.

ПодумайтеКорреляция плотности населения и зарплаты по регионам отрицательна. Следует ли из этого, что расселение жителей по территории региона приведёт к росту зарплат?

Блок 7

Изменение масштаба данных

Изменение масштаба – математический процесс преобразования значений переменной и приведения их к новому диапазону; форма распределения при этом не меняется.

Нормализация – приведение переменной к диапазону [0, 1] или [−1, 1] по формуле с минимумом и максимумом; чувствительна к выбросам.
Поправка – деление (или умножение) переменной на определённое значение для устранения влияния посторонних эффектов (инфляция, сезонность).
Стандартизация – вычисление z-оценок; стандартизированная переменная всегда имеет среднее 0 и дисперсию 1, диапазон новых значений не ограничен.

Стандартизация предпочтительнее при наличии выбросов и для сравнения подгрупп значений одной переменной; нормализация – когда важно сравнивать средние значения или нужен ограниченный диапазон. Типичный метод создания общих границ при нормализации:

X_{r e s c a l e} = n \cdot \frac{X - X_{m i n}}{X_{m a x} - X_{m i n}}

где n – верхний предел значений после масштабирования (при n = 1 переменная приводится к диапазону от 0 до 1).

Значение восьмого округа 40

Сквозной набор на трёх шкалах. При росте выброса нормализованные значения остальных округов сжимаются к нулю; z-оценки сохраняют взаимное расположение значений.

Расчёт #5 · нормализация и z-оценкиДано: плотности 10…40; x̄ = 18, s ≈ 9,5 (Расчёты #1–#2); Xmin = 10, Xmax = 40
Нормализация в [0, 1] (n = 1): для x = 15: (15 − 10) / (40 − 10) = 5/30 ≈ 0,17; для x = 40: 30/30 = 1,00; для x = 10: 0,00
z-оценка (стандартизация): z = (x − x̄) / s. Для x = 40: z = (40 − 18) / 9,5 ≈ +2,33; для x = 10: z = (10 − 18) / 9,5 ≈ −0,85
Интерпретация: округ с плотностью 40 лежит на 2,33 стандартного отклонения выше среднего; по правилу «выброс дальше 2,5σ» он ещё НЕ выброс, хотя по box plot (Расчёт #3) – экстремальный выброс: разные методы могут давать разные ответы
Вывод: нормализация зажала диапазон в [0, 1], но выброс сжал все остальные значения к нулю; z-оценки сохраняют форму распределения и позволяют сравнивать переменные с разными единицами измерения

Из учебника · зачем нужен общий масштаб

Методы кластеризации основаны на вычислении матрицы расстояний (например, евклидовых) между точками данных. Без масштабирования переменная с большим диапазоном значений определяет расстояния почти единолично, и результат кластеризации отражает только её. Поправки необходимы при сравнении доходов за разные годы (устранение инфляции) и в разных странах.

Из практики · реальные регионы

Тот же эффект наблюдается на реальных данных. При нормализации плотности населения по 85 регионам Москва получает значение 1, Санкт-Петербург , а медианный регион всего : почти все регионы оказываются неразличимы у нуля. По правилу 2,5σ выбросами признаются только Москва и Санкт-Петербург, тогда как диаграмма размаха выделяет пять регионов. Два крупнейших выброса настолько увеличивают стандартное отклонение, что маскируют остальные.

ПодумайтеПеред кластеризацией регионов по плотности населения и зарплате переменные требуется привести к общему масштабу. Какой способ выбрать и почему?

Блок 8

Статистика выводов: методы, доверительные интервалы, проверка значимости

Параметрические и непараметрические методы

Статистика выводов используется, когда нужно описать всю совокупность, опираясь на выборочные данные.

Параметрические методы предполагают, что выборка получена из некоторого известного распределения; включают четыре шага: определение совокупности → сбор данных (выборка) → оценка выборки (предположения о распределении, оценка параметров) → формулирование выводов. Они точнее и обладают более высокой статистической мощностью, если предположение о распределении верно – но случайность (и пространственная случайность) редко встречается в пространстве из-за пространственной автокорреляции.

Непараметрические методы не предполагают конкретный тип распределения; применяются, когда нарушаются предположения параметрических методов. К ним относятся: U-критерий Манна–Уитни, критерий Колмогорова–Смирнова, критерий Краскела–Уоллиса, тау Кендалла, коэффициент ранговой корреляции Спирмена, ядерная оценка плотности, непараметрическая регрессия.

Идентифицирует	Параметрические статистики (нормальное распределение)	Непараметрические статистики	Уровень измерения (для непараметрических статистик)
Различия между двумя независимыми группами	t-критерий (интервальный)	U-критерий Манна–Уитни	Порядковый/интервальный
		Z-критерий Колмогорова–Смирнова	Порядковый/интервальный
		Хи-квадрат	Номинальный/порядковый/интервальный
Различия между более чем двумя независимыми группами	Дисперсионный анализ и F-критерий (интервальный)	Критерий Краскела–Уоллиса	Порядковый/интервальный
		Анализ рядов	Интервальный
		Медианный тест Хи-квадрат	Номинальный/порядковый/интервальный
Различия между двумя связанными группами	t-критерий для зависимых выборок (интервальный)	Критерий знаков	Порядковый/интервальный
		Критерий Вилкоксона	Порядковый/интервальный
		Критерий МакНемара	Номинальный/порядковый/интервальный
Корреляция между переменными	Критерий Пирсона (интервальный)	Коэффициент ранговой корреляции Спирмена	Порядковый
		Тау Кенделла	Порядковый
		Гамма-критерий	Порядковый

Соответствие параметрических и непараметрических статистических критериев по уровню измерения переменных для разных типов сравнений.

Из учебника · четыре шага параметрического подхода

Требуется проанализировать продажи продукта по возрастным категориям клиентов.

Определение совокупности: клиенты.
Сбор данных: из общей совокупности случайным образом формируется выборка, например n человек, заполнивших анкеты.
Оценка выборки: предполагается, что переменная «продажи продукта» имеет нормальное распределение по возрастам покупателей; по выборке вычисляются среднее и стандартное отклонение как оценки параметров генеральной совокупности.
Формулирование выводов: две оценки подставляются в функцию плотности нормального распределения, после чего можно ответить, например, какова вероятность выбора товара покупателями в возрасте от 20 до 25 лет. Если вероятность ниже желаемого уровня, принимается решение об усилении рекламы для этой возрастной группы.

Доверительный интервал и стандартная ошибка

Доверительный интервал – интервальная оценка параметра совокупности: диапазон значений, который с высокой вероятностью содержит истинное значение параметра. Обычно выбирается уровень достоверности 95% или 99%.

Уровень достоверности не означает, что истинное значение параметра с этой вероятностью попадает в интервал – он означает, что при повторении процедуры выборки в этой доле случаев истинное значение попадёт в интервал: в 95% экспериментов попадёт, а в 5% – нет.

Стандартная ошибка статистики – стандартное отклонение её выборочного распределения; показывает, насколько выборочная статистика отклоняется от фактического параметра совокупности. Чем ниже стандартная ошибка среднего, тем выше точность оценки среднего значения генеральной совокупности; чем больше выборка, тем меньше стандартная ошибка.

Стандартная ошибка среднего рассчитывается по формуле:

σ_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}

где s – стандартное отклонение для исследуемой выборки, n – размер выборки. Если значения атрибутов выражены в процентах (P), стандартная ошибка рассчитывается по формуле:

σ_{\bar{X}} = \sqrt{\frac{P (1 - P)}{n}}

Доверительный интервал для среднего строится от выборочного среднего на расстояние, равное произведению стандартной ошибки на квантиль распределения: 1,96 для уровня 95% и 2,58 для уровня 99% при использовании нормального распределения.

\bar{x} \pm z_{1 - α / 2} \cdot σ_{\bar{X}}

Размер выборки n 8

Выборочное распределение среднего. Слева генеральная совокупность: зарплата по 85 регионам, распределение резко асимметрично. Справа гистограмма средних по 500 случайным выборкам объёма n. Её стандартное отклонение и есть стандартная ошибка среднего; оно близко к

σ / \sqrt{n}

. С ростом n гистограмма сужается и приближается к нормальной кривой, хотя исходное распределение нормальным не является (центральная предельная теорема).

Размер выборки n 8

Смысл уровня достоверности. Из нормальной совокупности с известным средним взято 100 выборок, по каждой построен доверительный интервал. Вертикальная линия отмечает истинное среднее. Интервалы, которые его не накрыли, выделены; при уровне 95% их в среднем пять из ста. Вероятностное утверждение относится к процедуре построения, а не к отдельному интервалу.

Расчёт #6 · стандартная ошибка и доверительный интервалДано: n = 8 округов, x̄ = 18, s ≈ 9,5 (Расчёты #1–#2)
Шаг 1. Стандартная ошибка среднего: SE = s / √n = 9,5 / √8 = 9,5 / 2,83 ≈ 3,34
Шаг 2. 95%-ный доверительный интервал (z = 1,96): x̄ ± 1,96 · SE = 18 ± 1,96 · 3,34 = 18 ± 6,6
Шаг 3. Итог: ДИ = [11,4; 24,6] чел./км²
Интерпретация: при многократном повторении выборки в 95% случаев такой интервал накроет истинную среднюю плотность генеральной совокупности
Как уменьшить интервал: увеличить выборку – при n = 32 (в 4 раза больше) SE уменьшится вдвое: SE = 9,5/√32 ≈ 1,68, и ДИ сузится до 18 ± 3,3
Примечание: для малых выборок (n < 30) строго следует брать коэффициент из распределения Стьюдента (t₀.₉₇₅;₇ = 2,36 → ДИ = [10,1; 25,9]) – z = 1,96 даёт слегка заниженный интервал

Из практики · откуда взялось распределение Стьюдента

Поправку для малых выборок предложил Уильям Госсет, химик пивоваренной компании «Гиннесс» в Дублине. Ему приходилось оценивать качество ячменя и хмеля по нескольким пробам, и нормальное приближение давало слишком узкие интервалы. Компания запрещала сотрудникам публиковаться под своим именем, поэтому статья 1908 года вышла под псевдонимом Student. Чем меньше выборка, тем тяжелее хвосты распределения Стьюдента и тем шире интервал; при n больше 30 оно практически совпадает с нормальным.

Типичная ошибка

Доверительный интервал [11,4; 24,6] читается как «истинное среднее с вероятностью 95% лежит между 11,4 и 24,6». Истинное среднее есть постоянная величина, а не случайная: оно либо принадлежит данному интервалу, либо нет. Случайными являются границы интервала, меняющиеся от выборки к выборке. Корректная формулировка: при многократном повторении выборки 95% построенных таким способом интервалов накроют истинное среднее.

Проверка значимости: гипотезы, p-значение, z-оценка

Проверка значимости – процесс отклонения или неотклонения гипотезы на основе выборочных данных; проводится в отношении двух противоположных утверждений – нулевой (H₀) и альтернативной (H₁) гипотез.

p-значение – вероятность найти наблюдаемые (или более экстремальные) значения выборочной статистики, если нулевая гипотеза верна.

z-оценка выражает расстояние в единицах стандартного отклонения между наблюдением и средним значением и для выборки рассчитывается по формуле:

z = \frac{x_{i} - \bar{x}}{s}

Уровень значимости α – пороговое значение для отклонения нулевой гипотезы (обычно 0,05; 0,01 или 0,001). Правило принятия решения:

p \leq α \Rightarrow отклонить H_{0}, p > α \Rightarrow не отклонять H_{0}

Если p ≤ α – нулевая гипотеза отклоняется, наблюдаемый эффект статистически значим; если p > α – нулевая гипотеза не отклоняется (но и не принимается за истину).

Ошибка первого рода – отклонение верной нулевой гипотезы (её вероятность определяется уровнем значимости α); ошибка второго рода – неотклонение ложной нулевой гипотезы.

Типичная процедура проверки значимости:

Сформулировать нулевую гипотезу H₀ (например, что выборка взята из совокупности с нормальным распределением).
Сформулировать альтернативную гипотезу H₁ (противоположное утверждение).
Выбрать уровень значимости α.
Выбрать проверяемую статистику (формулу), вычисляемую по наблюдаемым значениям.
Вычислить p-значение.
Сравнить p-значение с α и сделать вывод.

См. также: доверительные интервалы, развёрнутая схема проверки статистических гипотез (H₀/H₁, ошибки первого и второго рода) и критерии Стьюдента/Фишера/χ² с числовыми примерами на реальных географических данных (глубина расчленения рельефа, содержание гумуса по почвенным провинциям, связь заболеваемости с природными условиями) – учебное пособие «Математические методы в географии» (Чертко Н. К., Карпиченко А. А., Минск: БГУ, 2009), Гл. 1, §§1.4–1.6, с. 24–38.

Тренажёр: проверка значимости и z-оценка

z = 1,79

закрашенная область = p-значениекритическое значение для выбранного α (пунктир)наблюдаемая z-оценка

Закрашенная площадь под нормальной кривой (хвост или два хвоста) равна p-значению. При перемещении ползунка z через пунктирную линию критического значения решение о H₀ меняется. Для одного и того же z двусторонняя площадь, а значит и p-значение, вдвое больше односторонней.

Истинный сдвиг среднего (в стандартных ошибках) 2,5 Критическое значение 1,65

Ошибки первого и второго рода. Левая кривая показывает распределение статистики при верной H₀, правая – при верной H₁. Площадь левой кривой правее критического значения равна α, вероятности ошибки первого рода; площадь правой кривой левее него равна β, вероятности ошибки второго рода. Сдвиг критического значения вправо уменьшает α и увеличивает β: уменьшить обе вероятности одновременно позволяет только увеличение выборки.

Расчёт #7 · проверка значимости по шагамЗадача: по данным 8 округов (x̄ = 18, SE ≈ 3,34) проверить утверждение, что средняя плотность в регионе равна 12 чел./км²
Шаг 1. H₀: μ = 12 (средняя плотность равна 12)
Шаг 2. H₁: μ ≠ 12 (двусторонняя альтернатива)
Шаг 3. Выбираем α = 0,05
Шаг 4. Статистика: z = (x̄ − μ₀) / SE = (18 − 12) / 3,34 ≈ 1,79
Шаг 5. p-значение (двустороннее) = 2 · P(Z > 1,79) = 2 · 0,037 ≈ 0,073
Шаг 6. p = 0,073 > α = 0,05 → H₀ не отклоняется: данных недостаточно, чтобы утверждать, что средняя плотность отличается от 12 (но это не доказывает, что она равна 12!)
Замечание: при α = 0,10 вывод стал бы противоположным (0,073 ≤ 0,10 → H₀ отклоняется) – выбор α до анализа обязателен

Из практики · z-оценки и p-значения на картах

Инструменты пространственной статистики в ГИС выдают те же две величины. Анализ горячих точек Гетиса–Орда и индекс Морана в ArcGIS, GeoDa и библиотеке PySAL возвращают для каждого объекта или для всего набора z-оценку и p-значение. Нулевая гипотеза в них одна: значения распределены в пространстве случайно. Карта горячих точек есть карта z-оценок, окрашенная по порогам 1,65, 1,96 и 2,58, которые соответствуют уровням достоверности 90%, 95% и 99%.

Процедура из шести шагов, разобранная в расчёте № 7, применяется в лекциях 3 и 4 без изменений; меняется только проверяемая статистика.

Типичная ошибка

Результат p > α записывается как «нулевая гипотеза принята» или «доказано, что средняя плотность равна 12». Проверка значимости способна только отклонить нулевую гипотезу или не отклонить её. Отсутствие оснований для отклонения означает, что данных недостаточно; при выборке из восьми округов мощность критерия мала, и ложная гипотеза может остаться неотклонённой.

ПодумайтеВ расчёте № 7 получено p = 0,073. Исследователь, недовольный результатом, меняет уровень значимости на 0,10 и объявляет эффект значимым. В чём состоит нарушение?

Блок 9

Нормальное распределение в географическом анализе

Многие статистические методы (корреляция Пирсона, дисперсионный анализ, t-критерий, регрессия) основаны на предположении о нормальности распределения данных. Если распределение искажено, эти процедуры могут быть неточными.

Три способа проверить нормальность: построить гистограмму с наложенной кривой нормального распределения; вычислить асимметрию и эксцесс; построить нормальный график КК.

Если распределение не является нормальным, есть три варианта действий: использовать непараметрические статистические методы; преобразовать переменную; учесть размер выборки – согласно центральной предельной теореме, для выборок более 30–40 наблюдений выборочное распределение средних приближается к нормальному, даже если исходное распределение таковым не является.

См. также: одно- и двухфакторный дисперсионный анализ (ANOVA) с географическими/агрономическими примерами (дозы торфа и урожайность ячменя; метеоусловия и мелиорация в связи с приростом биомассы) – учебное пособие «Математические методы в географии» (Чертко Н. К., Карпиченко А. А., Минск: БГУ, 2009), Гл. 2, с. 38–48.

Преобразования для уменьшения асимметрии

Асимметрия	Преобразование	Формула
Большая положительная	Обращение (или отрицательное обращение)	Yn = 1/Y
От умеренной до небольшой положительной	Извлечение квадратного корня; логарифмирование	Yn = √Y; Yn = log(Y)
От небольшой до умеренной отрицательной	Возведение в квадрат	Yn = Y²
Большая отрицательная	Возведение в куб	Yn = Y³

Эти четыре преобразования – частные случаи одного семейства: степенного преобразования Бокса–Кокса, где параметр λ подбирается формально (например, методом максимального правдоподобия), а не выбирается по таблице вручную.

Y^{(λ)} = \frac{Y^{λ} - 1}{λ} (λ \neq 0), Y^{(0)} = \ln Y

См. также: формализованный подбор параметра линеаризующего степенного преобразования (преобразование Бокса–Кокса) – учебное пособие «Методы и модели эконометрики. Часть 2» (Реннер и др.), Гл. 5, §5.3, с. 211–215.

Переменная λ 1,00

Преобразование Бокса–Кокса на реальных данных по 85 регионам. Слева гистограмма преобразованной переменной с наложенной нормальной кривой, справа её нормальный график КК. Значения λ = 1; 0,5; 0; −1; 2; 3 соответствуют строкам таблицы. Для плотности населения логарифмирование (λ = 0) приводит асимметрию почти к нулю.

ПодумайтеВ наборе 85 регионов, распределение плотности населения резко асимметрично. Допустимо ли вычислять по этим данным коэффициент корреляции Пирсона, и какие существуют способы поступить корректно?

Блок 10

Итоги и заключения

Выводы лекции

ESDA и описательная статистика предлагают исчерпывающее визуальное представление данных путём связывания графиков, диаграмм рассеяния и гистограмм с картами.
Любому сложному статистическому или пространственному анализу должно предшествовать исследование основных характеристик переменной: центра, формы, рассеяния, нормальности распределения.
Выявление выбросов играет важную роль – если их не обработать должным образом, результаты анализа могут быть искажены.
Переменные, сильно отличающиеся масштабом или диапазоном, необходимо преобразовывать (нормализация, поправка, стандартизация) перед сравнением.
Проверка значимости и p-значение позволяют оценить, насколько вероятно, что наблюдаемый эффект – не случайность выборки, а реальная закономерность в совокупности.
Статистики часто вычисляются в предположении нормальности распределения – поэтому важно уметь её проверять.

Далее на практике

Инструменты ESDA в QGIS – картограммы доходов, гистограммы, выявление выбросов, z-оценки, диаграммы рассеяния для двумерного анализа.

Спасибо за внимание · zlonikovrr@edu.miigaik.ru

Самопроверка

Источники

Грекусис, Дж. Методы и практика пространственного анализа / Дж. Грекусис. – Москва : ДМК Пресс, 2021. – 540 с. – ISBN 978-5-97060-912-5. – Гл. 2 : Инструменты и статистики исследовательского анализа пространственных данных.
Бескид, П. П. Геоинформационные системы и технологии : учебное пособие / П. П. Бескид, Н. И. Куракина, Н. В. Орлова. – Санкт-Петербург : РГГМУ, 2010. – § 8.4 : Выбор метода классификации. – С. 83–87.
Чертко, Н. К. Математические методы в географии : учебно-методическое пособие / Н. К. Чертко, А. А. Карпиченко. – Минск : БГУ, 2009. – Гл. 1, §§ 1.4–1.6 ; гл. 2 ; гл. 5, § 5.6 ; гл. 12, § 12.2.
Методы и модели эконометрики : учебное пособие. Ч. 2 / Реннер [и др.]. – Гл. 5, § 5.3. – С. 211–215.
Anscombe, F. J. Graphs in Statistical Analysis / F. J. Anscombe // The American Statistician. – 1973. – Vol. 27, № 1. – P. 17–21.
Matthews, R. Storks Deliver Babies (p = 0.008) / R. Matthews // Teaching Statistics. – 2000. – Vol. 22, № 2. – P. 36–38.
Farman, J. C. Large losses of total ozone in Antarctica reveal seasonal ClO_x/NO_x interaction / J. C. Farman, B. G. Gardiner, J. D. Shanklin // Nature. – 1985. – Vol. 315. – P. 207–210.
Student. The Probable Error of a Mean / Student // Biometrika. – 1908. – Vol. 6, № 1. – P. 1–25.
Карта-хороплет или фоновая картограмма. – Текст : электронный // Картетика : [сайт]. – 2023. – URL: https://cartetika.ru/tpost/f5arizg3p1-karta-horoplet-ili-fonovaya-kartogramma (дата обращения: 11.10.2026).
Методы классификации данных на карте. – Текст : электронный // Картетика : [сайт]. – URL: https://cartetika.ru/tpost/zanl83e0d1-metodi-klassifikatsii-dannih-na-karte (дата обращения: 11.10.2026).
Как показать данные на карте. – Текст : электронный // Картетика : [сайт]. – 2023. – URL: https://cartetika.ru/tpost/s99fyxlhf1-kak-pokazat-dannie-na-karte (дата обращения: 11.10.2026).
Тематические карты с несколькими параметрами. – Текст : электронный // Картетика : [сайт]. – URL: https://cartetika.ru/tpost/pfdbnck0h1-tematicheskie-karti-s-neskolkimi-paramet (дата обращения: 11.10.2026).
Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников по полному кругу организаций в целом по экономике по субъектам Российской Федерации за 2000–2025 гг. : [таблица]. – Текст : электронный // Федеральная служба государственной статистики : [сайт]. – URL: https://rosstat.gov.ru/labor_market_employment_salaries (дата обращения: 11.10.2026).
Ввод в действие жилых домов по регионам Российской Федерации : [таблицы]. – Текст : электронный // Федеральная служба государственной статистики : [сайт]. – URL: https://rosstat.gov.ru/folder/14458 (дата обращения: 11.10.2026).
Уровень безработицы населения в возрасте 15 лет и старше по субъектам Российской Федерации : [таблица]. – Текст : электронный // Федеральная служба государственной статистики : [сайт]. – URL: https://rosstat.gov.ru/labour_force (дата обращения: 11.10.2026).
[О росте ввода жилья в Республике Дагестан по итогам 2023 года]. – Текст : электронный // ТАСС : [сайт]. – URL: https://tass.ru/nedvizhimost/19974905 (дата обращения: 11.10.2026).
Ввод жилья в Дагестане в I полугодии 2024 года вырос в 5 раз. – Текст : электронный // РБК Кавказ : [сайт]. – 2024. – 26 июля. – URL: https://kavkaz.rbc.ru/kavkaz/freenews/66a35fc59a7947c6b187c5dc (дата обращения: 11.10.2026).
Данные демонстраций: зарплата, ввод жилья и уровень безработицы за 2025 год по таблицам Росстата; численность населения и площадь регионов на 1 января 2025 года (Росстат). Данные приведены без Донецкой и Луганской Народных Республик, Запорожской и Херсонской областей, как в таблицах Росстата. Границы регионов: Natural Earth и OpenStreetMap, генерализованы.