Лекция 1

Введение в пространственный анализ

Курс «Математические методы обработки и анализа пространственных данных» Кафедра информатики и геоинформационных технологий, МИИГАиК Злоников Роман Русланович · Лебедев Евгений Денисович

План лекции

Что такое пространственный анализ и его типы
Последовательность анализа: описание → исследование → объяснение
Основные термины и определения
Чем пространственные данные особенные
Концептуализация пространственных отношений
Меры расстояния, близость, взаимодействие
Окрестности и соседи
Пространственные веса и стандартизация строк

Блок 1

Что такое пространственный анализ и какие у него типы

Три определения из презентации, одно преимущество, четыре типа анализа. Каждому типу — реальный пример.

Определение 1

Совокупность методов, статистик и приёмов, объединяющих понятия местоположение, площадь, расстояние и взаимодействие для анализа, исследования и объяснения закономерностей в наблюдениях с пространственной привязкой.

Определение 2

Количественное исследование явлений, возникающих в пространстве.

Определение 3

«Процесс, с помощью которого мы превращаем исходные данные в полезную информацию в погоне за научными открытиями или более эффективными решениями».

Главное преимущество: способность выявлять закономерности в данных, которые прежде не только не определялись, но даже не наблюдались.

Четыре типа пространственного анализа

Анализ структуры точечных закономерностей. Совокупность точек проверяется на сгруппированность, рассредоточенность или случайность; сюда же относится центрография (средний центр, стандартное отклонение расстояний). Пример: адреса ДТП, преступлений, вызовов скорой.

Анализ площадных данных. Данные объединены в заранее определённые зоны (округа, муниципалитеты). Центральные понятия: пространственная зависимость, неоднородность, автокорреляция, регионализация. Пример: доля заболевших по муниципальным образованиям Санкт-Петербурга (Картетика), плотность населения регионов России (карта в блоке 4).

Геостатистический анализ. Раздел статистики, моделирующий переменные непрерывного поля: температуру, осадки, загрязнение, рельеф. Основной инструмент — интерполяция (обратно взвешенные расстояния, кригинг). Пример: осадки по метеостанциям (GIS-Lab, Картетика).

Пространственное моделирование. Моделирование зависимости, автокорреляции и неоднородности; ключевые методы: пространственная регрессия и пространственная эконометрика. Пример: конвергенция доходов регионов России (ВШЭ), где доход региона зависит от доходов соседей.

Из практики · Картетика

Первоисточник курса. Структура лекции повторяет первую главу книги Джорджа Грекусиса «Методы и практика пространственного анализа» (Cambridge University Press, 2020; русский перевод ДМК Пресс, 2021, 540 страниц). Через всю книгу проходит один учебный проект: выбор места для новой кофейни в Афинах по данным о преступности, плотности населения и характеристиках округов. Мы будем идти тем же путём, но на своих данных.

Источник: обзор книги на Картетике — cartetika.ru/…/metodi-i-praktika-prostranstvennogo-anal

ПодумайтеК какому из четырёх типов относится задача «где открыть новую аптеку»? (Подсказка: обычно к нескольким сразу — и это нормально.)

Блок 2

Последовательность анализа и термины

Описание → исследование → объяснение: три вопроса «что», «где», «почему». Затем четыре термина, которые будем различать весь курс.

Единая последовательность курса: результаты каждого шага становятся входом для следующего.

Три шага на примере «кофейня в Афинах»

А. Что? Сколько преступлений в каждом округе, каков разброс, есть ли выбросы (округ с аномально высоким значением).
Б. Где? Карта: где округа с высокой преступностью соседствуют друг с другом (кластеры), где одинокие выбросы, есть ли тренд «центр → окраина».
В. Почему? Модель: зависит ли преступность (зависимая переменная) от плотности населения, дохода, доли молодёжи (независимые) и от преступности в соседних округах.

Шаг В без шагов А и Б даёт красивую, но неверную модель

Термины и определения

Пространственная статистика

Использует статистические методы для анализа пространственных данных: количественная оценка пространственного процесса, выявление скрытых закономерностей.

Пространственное моделирование

Создание моделей, которые объясняют или предсказывают пространственные результаты.

Геопространственный анализ

Совокупность методов, приёмов и моделей пространственного анализа, объединённых в ГИС. Часто используется как синоним, хотя строго говоря пространственный анализ — часть геопространственного.

Пространственные данные

Пространственные объекты с геометрическими параметрами и пространственной привязкой, у которых есть и непространственные атрибуты.

ПодумайтеИндекс Морана по муниципалитетам — это какой шаг: А, Б или В? (Б: мы ещё ничего не объясняем, только ищем, где значения группируются.)

Блок 3

Данные: представления, переменные, уровни измерения

Объекты или поле, атрибуты в таблице, четыре уровня измерения и три раздела классической статистики.

Размер пикселя 18

Объектное (векторное) представление — мир из уникальных объектов: точки (скважины), линии (река), полигоны (озеро), привязанные координатами. Полевое (растровое) — поверхность с непрерывно меняющимся свойством (здесь высота), заданная регулярной решёткой пикселей или нерегулярной триангуляционной сетью (TIN). Меняйте размер пикселя и смотрите, как узкая река исчезает при огрублении.

Переменные и атрибуты

Переменная — любая характеристика объекта или человека; атрибуты — информация, которую несут пространственные данные; хранятся столбцами в таблице ГИС.
Данные образуются в процессе измерения; значение — результат измерения; выброс — необычно маленькое или большое значение.
Набор данных, генеральная совокупность, выборка — базовые понятия для описания структуры данных.

Три раздела классической статистики

Описательная — обобщает характеристики выборки: таблицы, графики, простые процедуры. Для выводов о всей совокупности не подходит.
Статистика выводов — анализ выборок ради выводов о генеральной совокупности: проверка значимости, доверительные интервалы, байесовский вывод.
Пояснительная — взаимосвязи между переменными и причинно-следственные объяснения; переменные делятся на зависимые и независимые; обычно регрессия.

Уровни измерения переменных

Уровень	Точка / линия / полигон	Пиксель
Номинальный	название населённого пункта, дороги, округа	тип земного покрова
Порядковый	рейтинг, тип дороги, классификация по образованию	разновидности лесов
Интервальный	уровень бедности, ширина дороги	температура поверхности
Относительный	численность населения, объём перевозок, доход на душу	загрязнённость воздуха

Допустимые операции: Относительный

Номинальные переменные нельзя упорядочить. Порядковые упорядочиваются, но разности не имеют смысла. Интервальные и относительные («числовые») допускают сложение и вычитание; у относительных есть значащий ноль, поэтому допустимы все операции, в том числе отношение «в два раза больше».

Кликните по строке таблицы

ПодумайтеТемпература +20° «в два раза теплее», чем +10°? Почему нет, а население 2 млн «в два раза больше» 1 млн — да?

Блок 4

Чем пространственные данные особенные

Закон Тоблера и автокорреляция, масштаб, MAUP, неоднородность, краевые эффекты, экологическая ошибка. Самый важный блок лекции.

Первый закон географии

«Любой географический объект связан со всеми остальными географическими объектами, но близкие объекты связаны сильнее, чем далёкие»

Уолдо Тоблер, статья о моделировании роста Детройта, 1970; в учебнике цитируется по Tobler, 1979

Пространственная автокорреляция — степень пространственной зависимости, ассоциации или корреляции между значениями атрибутов соседствующих объектов. Она нарушает допущение классической статистики о независимости наблюдений, но именно её наличие делает пространственный анализ осмысленным.

Пространственная структура 0,70 кластеризация

Индекс Морана I (соседство по правилу ладьи, строки стандартизированы)

0,00

−1 рассредоточение0 случайно+1 кластеры

среднее 0,00ст. откл. 1,00

Среднее и стандартное отклонение не меняются при движении ползунка. Описательная статистика «не видит» расположение значений, индекс Морана — видит.

Одни и те же 100 значений, переставленные по-разному. Слева направо ползунок меняет расположение: от шахматного (соседи различаются, I < 0) через случайное (I ≈ 0) к сгруппированному (соседи похожи, I > 0). Определение индекса и разбор на пяти полигонах — в карточке ниже.

Индекс Морана: определение

Глобальный индекс Морана I — статистика, измеряющая пространственную автокорреляцию: насколько значения признака у соседних объектов похожи друг на друга. Одно число на весь набор данных.

I = (n / S₀) · Σ_iΣ_j w_ij(x_i − x̄)(x_j − x̄) / Σ_i(x_i − x̄)²

где n — число объектов; x_i — значение признака; x̄ — среднее; w_ij — элемент матрицы пространственных весов (блок 8); S₀ = ΣΣ w_ij — сумма всех весов. При стандартизации строк S₀ = n, и индекс равен наклону прямой на диаграмме рассеяния Морана: по оси X — отклонение значения от среднего, по оси Y — среднее отклонение соседей (пространственный лаг).

I > 0 — положительная автокорреляция: похожие значения рядом (кластеры).
I ≈ E[I] = −1/(n − 1) — случайное расположение; при большом n ожидание близко к нулю.
I < 0 — отрицательная автокорреляция: рядом непохожие значения (шахматный порядок).

Значимость проверяют z-оценкой или перестановочным тестом; локальная версия индекса (LISA) — в следующей лекции.

Расчёт #5 · индекс Морана для пяти полигонов в рядДано: пять полигонов в ряд 1–2–3–4–5, соседи — только смежные в ряду (правило ладьи), веса стандартизированы по строкам. Значения: 10, 10, 20, 30, 30
Шаг 1. Среднее x̄ = (10 + 10 + 20 + 30 + 30) / 5 = 20. Отклонения z = x − x̄: −10, −10, 0, +10, +10
Шаг 2. Лаг = среднее z по соседям: lag₁ = z₂ = −10; lag₂ = (z₁ + z₃)/2 = −5; lag₃ = (z₂ + z₄)/2 = 0; lag₄ = (z₃ + z₅)/2 = 5; lag₅ = z₄ = 10
Шаг 3. Числитель Σ zᵢ·lagᵢ = 100 + 50 + 0 + 50 + 100 = 300. Знаменатель Σ zᵢ² = 100 + 100 + 0 + 100 + 100 = 400
Шаг 4. S₀ = n = 5 (каждая строка весов в сумме даёт 1), поэтому I = (n/S₀) · 300/400 = 0,75. Ожидание при случайности E[I] = −1/4 = −0,25
Проверка на «шахматном» ряду 10, 30, 10, 30, 10: x̄ = 18; z = −8, 12, −8, 12, −8; лаги 12, −8, 12, −8, 12; Σ z·lag = −480; Σ z² = 480; I = −1,00
Вывод: похожие значения рядом дают I → +1, чередование даёт I → −1. Именно этот индекс считается на решётке выше и на Карте 1.

Карта 1. Плотность населения регионов России и автокорреляция

Соседи для индекса Морана показать квадранты Морана вместо плотности

—

индекс Морана I для log₁₀ плотности

—

ожидание при случайности E[I] = −1/(n−1)

—

z-оценка (нормальное приближение)

—

регионов без соседей («острова»)

85 регионов, население на 1 января 2025 года, плотность в чел/км² по логарифмической шкале (Москва 5183, Чукотка 0,07). Наведите на регион. Меняйте определение соседства и смотрите, как меняется индекс: это главная мысль блоков 5–8.

Из практики · Картетика

Заболеваемость по муниципальным образованиям Санкт-Петербурга. В статье про глобальную автокорреляцию считают индекс Морана для доли заболевших по МО города: строят матрицу весов по расстоянию, вычисляют пространственный лаг (среднее по соседям) и диаграмму рассеяния Морана. Результат — положительная автокорреляция: районы с высокой долей пациентов расположены рядом друг с другом. В продолжении про локальную автокорреляцию (LISA) около 20% МО показывают значимую локальную ассоциацию: кластер низких значений на западном берегу Финского залива, кластер высоких — на юге города. Код на Python (pysal) выложен в Google Colab.

Источники: Глобальная пространственная автокорреляция и индекс Морана · Локальная пространственная автокорреляция

Масштаб

Географический масштаб

Определяет, как представлены объекты: страна → точка, город → полигон, округ → набор полигонов. Выбирается до сбора данных и определяет, какие вопросы вообще можно задать.

Масштаб анализа

Расстояние, на котором вычисляются пространственные статистики (радиус поиска соседей, полоса пропускания плотности). Может отличаться для разных переменных одного набора данных: для ДТП это сотни метров, для цен на жильё — километры.

Первая задача любого анализа — выбрать правильный масштаб

Проблема изменяющейся пространственной единицы (MAUP)

Размер сетки 3×3 сдвинуть сетку на полклетки показывать точки

Точек всего:

Зон, где большинство синих

—

Зон, где большинство оранжевых

—

Корреляция двух признаков по точкам

—

Корреляция тех же признаков по зонам

—

Точки не двигаются. Меняются только границы зон — и вместе с ними «итог голосования» (зональный эффект) и сила связи двух признаков (масштабный эффект: чем крупнее зоны, тем выше корреляция).

MAUP: результаты анализа зависят от того, как проведены границы зон агрегирования. Два эффекта: масштабный (размер единиц) и зональный (форма и положение при том же размере). Точки и признаки здесь синтетические, для иллюстрации.

Из практики · реальные случаи MAUP

Айова, 99 округов. Оупеншоу и Тейлор (1979) считали корреляцию между долей голосов за республиканцев и долей пожилых. Объединяя те же 99 округов в 6 зон разными способами, они получали коэффициент корреляции от −0,97 до +0,99. Отсюда и родился термин MAUP (Openshaw, 1984).
Выборы в США 2000 года (пример из презентации): итог определился тем, как проведены границы округов при одном и том же распределении избирателей. Крайняя форма зонального эффекта — джерримендеринг, намеренная нарезка округов под нужный результат.
Плотность застройки в QGIS (Картетика): одна и та же застройка Москвы даёт разные «самые плотные районы» в зависимости от того, считать по кварталам, по гексагональной сетке или по административным районам.

Источники: GIS Geography: MAUP · Penn State GEOG 586: The Pitfalls of Spatial Data · Картетика: измеряем плотность застройки в QGIS

Из практики · Картетика · краевые эффекты

Вероятность снега в Кировской области. Если интерполировать только по метеостанциям внутри границ области, размах значений получается около 1,5%. Стоит добавить станции соседних регионов — размах вырастает до 5%, и появляются территории с почти стопроцентной вероятностью снега. Причина: административные границы искусственны и режут однородные объекты (реки, леса, климатические зоны). Рецепты из статьи: буфер за границей области, повышенные веса у краёв, мультимасштабный анализ.

Источник: Картетика: проблемы границ (boundary problem) в пространственном анализе

Пространственная неоднородность

Пространство неоднородно: реки, дороги, границы, разная плотность населения. Кажущийся кластер событий (например, заболеваний) может объясняться тем, что там просто больше людей, а не повышенным риском. Поэтому сравнивают не число случаев, а долю.

Краевые эффекты

У объектов на краю области соседей меньше, чем у объектов в центре. Компенсируется стандартизацией строк матрицы весов (блок 8) или буфером за границей.

Число соседей по правилу ладьи: 2 в углу, 3 на ребре, 4 внутри.

Экологическая ошибка

Связь, значимая на агрегированном уровне (округа), не обязательно верна на уровне отдельного объекта.

Робинсон, 1950. По 48 штатам США корреляция между долей иммигрантов и долей грамотных была +0,53: «где больше иммигрантов, там грамотнее». По отдельным людям та же корреляция была −0,11: иммигранты в среднем были менее грамотны, но селились в грамотных штатах.

ПодумайтеЕсли в районе с новостройками много вызовов скорой к детям, это кластер риска или просто там живут молодые семьи? Что нужно посчитать, чтобы ответить?

Блок 5

Концептуализация пространственных отношений и меры расстояния

Как математически определить «близко», «далеко», «смежный», «сосед». Четыре подхода, четыре формулы расстояния, Расчёт #1 и карта Сноу.

Что значит концептуализировать отношения

Определение: моделирование отношений и взаимосвязей между объектами в пространстве — математическое определение понятий «близко», «далеко», «смежный», «соседний», «окрестность», «расстояние».

При концептуализации важно: выбрать меру расстояния; определить, что значит смежность; определить количество соседей; определить метод выбора ближайшего соседа.

При выборе разных пространственных отношений анализ одного и того же набора данных приводит к разным результатам — нужно избегать значений по умолчанию в программных пакетах ГИС.

Методы концептуализации

Подход	Инструменты	Когда уместен
А. Расстояние	мера (евклидово, манхэттенское, Минковского, сетевое); фиксированное расстояние; расстояние затухания	точечные объекты; непрерывные явления
Б. Смежность	только общие границы (правило ладьи); общие углы (правило ферзя); смежность высшего порядка	полигоны: округа, муниципалитеты
В. Соседство	k ближайших соседей; полигоны близости (Тиссена/Вороного); триангуляция Делоне	неравномерная плотность объектов; изолированные объекты
Г. Пространство-время	расстояния и временные окна	пространственно-временные горячие точки

Выбор подхода зависит от задачи: для дорожного движения рациональнее сетевое или манхэттенское расстояние, для плотности населения в агломерации — функция затухания.

Меры расстояния

Показатель p Минковского 3 Перетаскивайте точки A и B

евклидово (прямая)манхэттенское (по клеткам)«окружность» Минковского радиуса d_p

d_евк = √((X_B − X_A)² + (Y_B − Y_A)²)

d_манх = |X_B − X_A| + |Y_B − Y_A|

d_минк = (|X_B − X_A|^p + |Y_B − Y_A|^p)^1/p

d_корр = 1 − |r|

В географическом анализе чаще всего используются: евклидово, манхэттенское, Минковского, корреляционные расстояния Пирсона и Спирмена, сетевое и геодезическое. В пространственной статистике — в основном евклидово и манхэттенское.

Расстояние Минковского обобщает оба: при p = 1 получаем манхэттенское, при p = 2 — евклидово, при p → ∞ — максимум из |ΔX| и |ΔY| (расстояние Чебышёва).

Сетевое расстояние — по дорогам; в городах оно обычно в 1,2–1,4 раза длиннее евклидова (коэффициент непрямолинейности). Геодезическое — по поверхности эллипсоида, нужно на больших расстояниях.

Расчёт #1 · меры расстоянияДано: A(2; 3), B(6; 6). ΔX = 6 − 2 = 4, ΔY = 6 − 3 = 3
Евклидово: d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5,00
Манхэттенское: d = |4| + |3| = 7,00
Минковского (p = 3): d = (4³ + 3³)^(1/3) = (64 + 27)^(1/3) = 91^(1/3) ≈ 4,50
Проверка: p = 2 даёт евклидово (5,00), p = 1 — манхэттенское (7,00); с ростом p результат стремится к max(|ΔX|, |ΔY|) = 4
Вывод: манхэттенское расстояние всегда ≥ евклидова; выбор меры меняет состав окрестностей и пространственные веса, а значит, и результат анализа.

Карта 2. Холера в Лондоне, 1854: какая колонка с водой ближе

зоны ближайшей колонки с водой улицы

Колонка с водой	Смертей	Доля

адреса, для которых ближайшая колонка с водой — Broad Streetостальные адреса (размер — число смертей)местоположения колонок с водой

Реальные данные Джона Сноу: 578 смертей по 575 адресам и 13 колонок с водой (датасет HistData, R). Каждый адрес отнесён к ближайшей колонке. Зоны ближайшей колонки при евклидовом расстоянии — это полигоны Тиссена (Вороного), о которых пойдёт речь в блоке 7. При манхэттенском расстоянии границы зон ломаются, и часть адресов меняет «свою» колонку, но колонка на Брод-стрит остаётся лидером с большим отрывом. Сноу добился снятия ручки с этой колонки 8 сентября 1854 года.

Из практики · как это повторить

В учебнике QGIS этот пример — первое упражнение по пространственному анализу: слои смертей и колонок с водой, инструмент «Полигоны Вороного», «Подсчёт точек в полигонах» с весом по числу смертей, «Расстояние до ближайшего узла» и тепловая карта. Число смертей в полигоне колонки на Брод-стрит оказывается намного больше, чем в остальных. Обратите внимание: улицы Сохо не образуют прямоугольной сетки, поэтому манхэттенское расстояние здесь лишь грубая замена сетевого.

Источник: QGIS Training Manual, «First analysis example» · данные: HistData: Snow

ПодумайтеКакая мера расстояния подходит для расчёта зоны обслуживания пожарной части? Почему не евклидова?

Блок 6

Диапазоны расстояний, затухание и взаимодействие

Кроме меры расстояния нужен диапазон: до какого расстояния объекты считаются связанными. Два метода: фиксированное расстояние и функция затухания. Затем гравитационная модель и Расчёт #3.

Фиксированный диапазон расстояний

Кроме меры расстояния нужно выбрать диапазон расстояний, в пределах которого объекты считаются связанными; он тесно связан с масштабом анализа. На практике чаще всего используют два метода: фиксированное расстояние и расстояние затухания.

Фиксированный диапазон — значение, выражающее размер сферы влияния вокруг объекта: все объекты внутри получают одинаковый вес, объекты за пределами — нулевой. Используется для формирования окрестностей, содержащих одинаково интерпретируемые объекты.

Расстояние затухания

Функция, подразумевающая плавное и непрерывное ослабление влияния с увеличением расстояния — практическое воплощение закона Тоблера. Виды: обратное расстояние, отрицательная степенная (обратный квадрат), отрицательная экспоненциальная.

Часто комбинируется с фиксированным расстоянием: как точка отсечки (после неё взаимодействие не учитывается) или как область равнозначности (до неё все объекты равноценны).

фиксированное расстояние 1/d 1/d² e^−βd

Диапазон d₀ 8 β 0,30 обрезать затухание на d₀

Вес связи как функция расстояния. Ступенька — фиксированный диапазон. Обратное расстояние подходит для непрерывных явлений (температура, загрязнение), обратный квадрат — когда влияние ослабевает быстрее (миграция, торговля). Экспонента — самая «мягкая» настройка через β.

Функция для окрестности

объектов с ненулевым весом: —сумма весов: —

Та же настройка глазами одного объекта: яркость соседа — его вес. У ступеньки все соседи внутри круга одинаковы; у затухания ближние важнее. Из этих весов строится матрица пространственных весов (блок 8).

Из практики · где встречаются функции затухания

Плотность населения от центра города. Кларк (1951) показал, что плотность убывает от центра примерно по отрицательной экспоненте D(r) = D₀·e^−βr; эта модель до сих пор используется для описания агломераций.
Интерполяция обратно взвешенными расстояниями (ОВР, IDW). Значение в точке — среднее по соседним измерениям с весами 1/dᵖ. Картетика разбирает ОВР и триангуляцию в QGIS на первой части цикла про интерполяцию.
Торговое тяготение. Закон Рейли (1931): два города притягивают покупателей из промежуточного пункта пропорционально населению и обратно пропорционально квадрату расстояния. Это та же гравитационная модель с b = 2.

Источники: Картетика: интерполяция в QGIS, часть 1 (ОВР, триангуляция) · GIS-Lab: пространственный анализ растровых данных, интерполяция

Взаимодействие

Взаимодействие — степень связи между двумя местоположениями, пунктом отправления и назначения. Вычисляется на основе расстояния и значения смежности; используется для получения весов в матрице пространственных весов. Возникает, когда есть множества «спроса» и «предложения», альтернативные локации для них, и они связаны друг с другом.

I_ij = w_ij · P_i · P_j / d_ij^b

где i, j — местоположения; w_ij — весовой коэффициент связи; P_i, P_j — значения переменной (например, население); d_ij — функция расстояния; b — показатель степени затухания связи с расстоянием.

P_i 1000 P_j 500

d, км 10 b 1

выбранное bb = 1b = 2

Расчёт #3 · взаимодействие двух городовДано: Pᵢ = 1000, Pⱼ = 500, dᵢⱼ = 10 км, wᵢⱼ = 1
Шаг 1. Числитель: Pᵢ · Pⱼ = 1000 · 500 = 500 000
Шаг 2 (b = 1, обратное расстояние): I = 1 · 500 000 / 10¹ = 50 000
Шаг 3 (b = 2, обратный квадрат): I = 1 · 500 000 / 10² = 5 000
Выбранное b = 1: I = 50 000
Вывод: чем больше b, тем быстрее затухает связь с расстоянием. b = 1 — для непрерывных явлений (температура, загрязнение), b = 2 — когда влияние ослабевает быстро (миграция, торговля).

Блок 7

Смежность, соседи, окрестности

Правило ладьи и ферзя, матрица смежности и Расчёт #2, k ближайших соседей, полигоны Вороного и триангуляция Делоне. Плюс карта регионов как тренажёр.

соседей 1-го порядка: —2-го порядка: —

Кликните по клетке. Правило ладьи: соседи только через общую границу. Правило ферзя: через границу или общий угол. Второй порядок: соседи соседей.

Матрица смежности: недиагональные элементы 1 (смежны) или 0, диагональ не определена, Σ — число соседей первого порядка. Кликните по полигону: D граничит со всеми, F — только с D.

Расчёт #2 · матрица смежности для сетки 2×2

Дано: A (слева сверху), B (справа сверху), C (слева снизу), D (справа снизу).
Шаг 1. Пары с общей границей: A–B, A–C, B–D, C–D. Пары A–D и B–C касаются только углом — по правилу ладьи они НЕ соседи.
Шаг 2. Заполняем матрицу: 1 — смежны, 0 — нет; матрица симметрична (если A сосед B, то B сосед A).
Шаг 3. Сумма по строке = число соседей первого порядка: у каждого полигона по 2 соседа.

Окрестности: k ближайших соседей

k 3Кликните по точке

—

Окрестность — географически локализованная область, где объекты взаимодействуют сильнее, чем за её пределами. Метод kNN гарантирует каждому объекту не меньше k соседей: в строке матрицы расстояний k наименьших значений заменяются на 1, остальные на 0. Матрица не симметрична: в разреженной части точка тянется к далёкому соседу, который сам её соседом не считает. Метод чувствителен к неоднородной плотности объектов и размеру полигонов.

полигоны Вороного триангуляция Делоне

Полигоны близости (Тиссена / Вороного) делят плоскость так, что любая точка ближе к своему центроиду, чем к любому другому: зоны обслуживания, интерполяция. Триангуляция Делоне (TIN) соединяет центроиды треугольниками с общими границами и гарантирует хотя бы одного соседа даже изолированному объекту; она двойственна диаграмме Вороного: соседи по Делоне — это полигоны Вороного с общей стороной. Кликните, чтобы добавить точку; тяните, чтобы переместить.

Другие методы определения окрестности

Метод	Идея
Пространственно-временное окно	Сосед — объект, близкий и в пространстве (диапазон расстояний), и во времени (временной интервал); поиск пространственно-временных горячих точек.
Полигоны близости (Тиссена / Вороного)	Делят плоскость так, что любая точка ближе к своему центроиду, чем к любому другому; оценка зон обслуживания, интерполяция.
Триангуляция Делоне (TIN)	Делит пространство точек-центроидов на треугольники с общими границами; гарантирует хотя бы одного соседа; подходит для изолированных объектов.

Карта 3. Соседи регионов России

Определение соседства показывать веса после стандартизации строк

Кликните по региону

Для начала попробуйте Калининградскую область, Сахалин или Крым при смежности, а затем при kNN.

—

минимум соседей

—

максимум соседей

—

в среднем

—

островов (0 соседей)

—

несимметричных связей

Смежность посчитана по геометрии: две области — соседи по ладье, если у них есть общий отрезок границы, и только по ферзю, если общая лишь одна вершина. Единственная в стране пара «только по углу» при такой генерализации — Оренбургская и Саратовская области (в реальности у них короткий общий участок границы; так генерализация границ меняет матрицу). Расстояния для kNN и радиуса считаются между центроидами в равновеликой проекции.

Из практики · GeoDa, 3085 округов США

Учебник GeoDa строит веса на наборе ncovr (убийства и социально-экономические данные по 3085 округам). Ладья: от 1 до 13 соседей, в среднем 5,57. Ферзь: от 1 до 14, в среднем 5,89. Разница между правилами на реальных полигонах — 0,3 соседа, поэтому по умолчанию GeoDa рекомендует ферзя: он устойчивее к неточностям в геометрии. Смежность второго порядка: «чистая» (без соседей первого порядка) даёт в среднем 12,55 соседей, включающая — 18,44. Матрица весов заполнена меньше чем на 0,2%: она разреженная.

Источник: GeoDa Workbook: Contiguity-Based Spatial Weights

Из практики · Картетика · Вороного в QGIS

Булочные Казани. Точки семи крупных сетей выгружены из OpenStreetMap через QuickOSM, затем построены полигоны Вороного: для каждой булочной — зона, где именно она ближайшая. Так оценивают зоны обслуживания, размещение вышек связи, распространение болезней (та же карта Сноу). В QGIS: «Вектор → Обработка геометрии → Полигоны Вороного», нужен точечный слой; дальше символизация по уникальным значениям.

Источник: Картетика: диаграмма Вороного и как сделать её в QGIS

ПодумайтеПочему у Сахалина при kNN появляются соседи, а при смежности нет? Хорошо это или плохо для анализа?

Блок 8

Пространственные веса и стандартизация строк

Матрица весов — главная матрица большинства методов пространственного анализа. Стандартизация строк и Расчёт #4.

Что такое пространственные веса

Числовые значения, отражающие расстояние, время или стоимость между целевым и любым другим объектом в окрестности.
Матрица пространственных весов W хранит эти значения и используется как основная матрица в большинстве методов: индекс Морана, LISA, пространственная регрессия.
Двоичная матрица (0/1) получается из смежности, kNN или фиксированного расстояния; матрица с функцией затухания — из блока 6.

Стандартизация строк

w^*_ij = w_ij / Σ_j w_ij

Масштабирует веса в диапазон от 0 до 1; сумма элементов каждой строки равна 1.
Следует применять, когда объекты-полигоны отражают административные или искусственно определяемые области (MAUP), а также к двоичным матрицам фиксированного расстояния и смежности.
Не требуется при анализе точечных объектов (ДТП, преступления), не являющихся результатом агрегирования.
После стандартизации пространственный лаг Σ_j w^*_ij x_j становится просто средним по соседям.

Расчёт #4 · стандартизация строк матрицы весов

Дано: сетка 2×2 из Расчёта #2, соседство по правилу ферзя — у каждого полигона по 3 соседа. Двоичная строка весов полигона A: [–, 1, 1, 1]
Шаг 1. Сумма весов в строке A: 1 + 1 + 1 = 3
Шаг 2. Делим каждый вес на сумму строки: w(A,B) = 1/3 ≈ 0,33; w(A,C) = 1/3 ≈ 0,33; w(A,D) = 1/3 ≈ 0,33
Шаг 3. Проверка: 0,33 + 0,33 + 0,33 = 1,00
Вывод: после стандартизации объект с малым числом соседей (например, на краю области) даёт каждому соседу больший вес — так компенсируются краевые эффекты.

Из практики

В GeoDa все инструменты, использующие пространственные веса, применяют их в стандартизированной по строкам форме: сумма всех весов S₀ тогда равна числу наблюдений n. Именно так посчитан индекс Морана на Карте 1: вернитесь к ней и переключите определение соседства — с kNN у островов появляются соседи, и значение индекса меняется. На Карте 3 галочка «показывать веса после стандартизации» выводит веса 1/n для выбранного региона: у Калининграда с одним kNN-соседом вес соседа равен 1, у Кировской области с девятью соседями каждый получает 0,11.

Блок 9

Итоги и что дальше

Пять выводов лекции

Процедура пространственного анализа включает описание, исследование и объяснение.
Пространственная автокорреляция — основная причина, почему к пространственным данным нельзя применять классические статистические подходы «как есть».
Выбор способа концептуализации пространственных отношений зависит от задачи; неправильный выбор ведёт к недостоверным результатам.
Географический масштаб определяет представление данных, порядок сбора, методы анализа и результаты; первая задача анализа — выбрать правильный масштаб.
Стандартизация строк почти всегда необходима, когда в анализе участвуют полигоны.

На практике

Набор данных курса; картограммы в QGIS.
Установка плагинов и библиотек (QuickOSM, pysal).
Домашнее чтение: статьи Картетики про глобальную и локальную автокорреляцию, к следующей лекции об индексе Морана.

Спасибо за внимание · zlonikovrr@edu.miigaik.ru

Источники и данные

Грекусис Дж. Методы и практика пространственного анализа. ДМК Пресс, 2021 (George Grekousis, Spatial Analysis Methods and Practice, Cambridge University Press, 2020). Обзор: Картетика.
Картетика: глобальная автокорреляция · локальная автокорреляция · проблемы границ · диаграмма Вороного в QGIS · интерполяция в QGIS · плотность застройки в QGIS.
GeoDa Workbook: Contiguity-Based Spatial Weights (Luc Anselin).
QGIS Training Manual: John Snow example; данные HistData::Snow через Rdatasets.
GIS-Lab: Краткое введение в ГИС, часть 10 · GIS Geography: MAUP · Penn State GEOG 586 · ВШЭ: региональная конвергенция доходов, пространственный анализ.
Геометрия регионов: Highcharts Map Collection (Natural Earth), Крым и Севастополь: timurkanaz/Russia_geojson_OSM (OpenStreetMap, ODbL); упрощено в mapshaper. Реестр регионов и границ: infoculture/ruregions. Население и площадь: Википедия по данным Росстата на 1 января 2025 г. Тюменская и Архангельская области показаны без автономных округов.
Классика: Tobler W. (1970) A computer movie simulating urban growth in the Detroit region; Openshaw S., Taylor P. (1979) A million or so correlation coefficients; Robinson W. S. (1950) Ecological correlations and the behavior of individuals; Clark C. (1951) Urban population densities; Reilly W. J. (1931) The law of retail gravitation; Snow J. (1855) On the mode of communication of cholera.