Системы координат, пространственные операторы и векторные данные

1. С чего начинаются координаты

Тема пространственных систем координат — одна из самых непростых в ГИС. В повседневной жизни термин часто используют неправильно, а важность темы недооценивают. Существует несколько стандартов описания систем координат; самый известный — EPSG (European Petroleum Survey Group). Если два набора данных имеют одинаковый номер EPSG, они точно совпадут при наложении.

Но старые данные часто не содержат EPSG-кодов, поэтому приходится разбираться в структуре системы координат: эллипсоид, датум и проекция. Разберём эти три кирпича по порядку.

2. Геоид

Если смотреть на Землю с орбиты, она кажется ровным блестящим голубым шаром. Но стоит опуститься на поверхность — и перед глазами горы, долины, разломы и впадины океанов, уходящие на километры вглубь. Поверхность планеты далеко не гладкая — она скорее напоминает подгоревший пирог, чем идеальный шар. Даже привычное представление о сферической форме Земли неточно: планета немного сплюснута у полюсов. Путь вдоль экватора длиннее пути по меридиану примерно на 43 километра.

Как точно определить положение точки на столь неровной поверхности? Современные спутниковые навигаторы дают трёхмерную координату любого участка Земли; похожие принципы лежат в основе цифровых моделей рельефа. В теории за точку отсчёта можно взять и не Землю — Луну или спутник, — избавившись от зависимости от нестабильной земной поверхности.

Однако для повседневных задач такая точность избыточна. Нужна модель — достаточно точная, но не требующая чрезмерных вычислений. Возможность вычислить координаты до двадцатого знака не означает, что это оправдано. Модель — всегда упрощённое описание реальности: она не обязана быть идеальной, главное — подходить под задачу. Туристическая карта Москвы отлично подойдёт гостю города, но бесполезна пилоту вертолёта над МКАДом. Так и в геодезии: разные модели служат разным целям.

Первый вопрос при создании геодезической модели — как определить саму поверхность Земли. Использовать средний уровень моря? Сгладить горы и низины? Учитывать глубину океанов или границы тектонических плит? Универсального решения нет: ни один стандарт не подходит одинаково для всех регионов планеты.

Даже понятие уровня моря неоднозначно. Житель Санкт-Петербурга измеряет высоту своего дома — 40 метров над уровнем моря; человек во Владивостоке получает такое же значение. Находятся ли оба дома на одной высоте? Нет: уровень моря отличается от региона к региону и не совпадает с фиксированным расстоянием до центра Земли.

Да и само понятие центра Земли не столь однозначно. Ещё в начале XIX века Карл Фридрих Гаусс, исследуя силу тяжести с помощью маятника, предложил выделять поверхность, где эта сила одинакова. Так появилась идея геоида — фигуры, отражающей реальное распределение масс в земных недрах.

На практике геоид значительно отличается от идеальной сферы: из-за неоднородности внутреннего строения Земли масса распределена неравномерно, и на поверхности образуются участки повышенной и пониженной гравитации — своеобразные «выпуклости» и «провалы». Это делает Землю ещё менее похожей на идеальный шар и даже на приплюснутый апельсин.

Хотя термин «геоид» редко встречается в практических задачах ГИС, именно он служит фундаментом для геодезических и планарных моделей. В географическом моделировании чаще используют эллипсоиды — упрощённые варианты геоида, дающие достаточно точное приближение для большинства вычислений и картографических задач.

3. Эллипсоиды

Первые представления о модели Земли в виде эллипсоида возникли ещё у древнегреческих мыслителей. С математической точки зрения эллипсоид — объёмный эллипс с тремя полуосями: двумя экваториальными (a и b) и одной полярной (c). Если все три полуоси равны — получается сфера; когда a = b, а c меньше, говорят о сплюснутом сфероиде. Земля по форме ближе именно к нему — слегка приплюснутый мандарин.

Меняя длины полуосей, можно изменять степень сжатия эллипсоида. Когда-то в геодезии предполагали, что достаточно одного универсального опорного эллипсоида (референц-эллипсоида) для всей планеты. Идея оказалась несостоятельной: измерения показали, что геоид имеет различную кривизну в разных регионах, и эллипсоид, точный в одном месте, даёт большие ошибки в другом. Поэтому в разных странах создавали локальные эллипсоиды, точнее отражающие геометрию Земли в конкретных областях; многие используются и сегодня.

Пока учёные и инженеры работали изолированно, различия между эллипсоидами не мешали. Но с развитием авиации, навигации и особенно добычи нефти, когда потребовалась точная международная координация, множество моделей стало вызывать путаницу. С переходом от парусных кораблей к самолётам и спутникам возникла необходимость в единой глобальной системе. Так появились два основных эллипсоида: World Geodetic System (WGS 84) и Geodetic Reference System (GRS 80). На практике чаще применяется WGS 84, лежащий в основе GPS-навигации.

WGS 84 — не просто эллипсоид: система включает и модель геоида EGM96 (Gravitational Model of the Earth 1996). Иными словами, WGS 84 сочетает эллипсоид с геоидом, обеспечивая наилучшее соответствие реальной гравитационной поверхности Земли для выбранных геодезических пунктов. Исторические данные часто привязаны к моделям, применявшимся на момент их сбора:

Старейший и наиболее известный — эллипсоид Кларка 1866, почти идентичный NAD 27: в большинстве практических случаев они взаимозаменяемы.

4. Датум и его функции

Чтобы связать математическую поверхность эллипсоида с реальной поверхностью Земли, вводится понятие датума. Датум — совокупность параметров, определяющих положение и ориентацию эллипсоида относительно центра масс Земли. Он задаётся тремя координатными сдвигами (ΔX, ΔY, ΔZ), углами поворота (rX, rY, rZ) и масштабным коэффициентом, который регулирует размеры модели относительно реальной планеты.

Различают два типа датума: геоцентрический и локальный. В геоцентрических системах (например, WGS 84) начало координат совпадает с центром масс Земли. Локальный датум подстраивается под конкретную территорию: высокая точность в пределах ограниченной области ценой потери точности за её пределами.

Чтобы использовать эллипсоид в навигационных системах, его нужно зафиксировать относительно конкретного места на Земле. У эллипсоида есть два полюса — точки пересечения оси вращения с поверхностью; они должны быть связаны с реальными точками планеты, и такую привязку обеспечивает датум (система отсчёта). Даже если два набора координат используют один эллипсоид, их точки привязки могут различаться.

Для наглядности — пример с различием географического и магнитного полюсов: обе модели описывают Землю одинаково по форме, но первая опирается на географический Северный полюс, а вторая — на магнитный, смещённый в сторону северной Канады.

Для точного соответствия модели и поверхности применяются два типа датумов:

• горизонтальный датум — определяет точку Земли, к которой «привязан» эллипсоид;
• вертикальный датум — задаёт значение высоты относительно принятой нулевой поверхности (например, уровня моря).

Пример — Североамериканский датум 1927 года (NAD 27), привязанный к ранчо Мидс в Канзасе (недалеко от географического центра США): он выступает и горизонтальным, и вертикальным датумом. Другие широко применяемые датумы:

• NAD 83 — Североамериканский датум 1983 года, обычно с эллипсоидом GRS 80;
• NAD 27 — Североамериканский датум 1927 года на эллипсоиде Кларка 1866;
• Европейский датум 1950 года — территория Европы;
• Австралийская геодезическая система 1984 года — Австралия и Океания.

5. Построение пространственных систем координат

Часто пространственную систему координат, применяемую в ГИС, ошибочно отождествляют с геометрической системой координат. На деле геометрическая система — лишь один из элементов описания пространственной системы; её задача — задать положение точки на референц-эллипсоиде.

Обычно для эллипсоида используется географическая (геодезическая) система координат, обозначаемая lon/lat. Она основана на двух угловых величинах: долготе и широте. Линии от полюса до полюса образуют меридианы и определяют долготу; линии, параллельные экватору, задают широту. Принцип работает для любого объекта, напоминающего эллипсоид, — хоть для арбуза, где продольные полосы играют роль меридианов.

5.1. Основы построения

Ключевые этапы построения пространственной системы координат:

• формируется модель Земли — референц-эллипсоид, наилучшим образом соответствующий форме геоида в пределах рассматриваемой территории;
• с помощью датума эллипсоид привязывается к конкретному положению в пространстве, а для указания точек на его поверхности вводится система координат.

Пример: «нулевая миля» в Вашингтоне имеет координаты W −77,03655, N 38,8951 в системе WGS 84. Те же координаты в системе NAD 27 с эллипсоидом Кларка 1866 немного изменятся: W −77,03685, N 38,8950. Различие датумов — это сотые доли секунды, но на местности — метры.

Во многих наборах географических данных координаты не проецируются на плоскость и хранятся в виде широты и долготы. Такие данные называют неспроецированными: они позволяют вычислять расстояния по дуге большого круга и строить маршруты по поверхности Земли.

5.2. Местные системы координат (МСК)

Местные системы координат (МСК) применяются в России для инженерных и кадастровых работ. Они регламентированы положениями, содержащими параметры перехода из общеземных систем (WGS 84, ПЗ-90) в локальные: сдвиги по осям, углы вращения, масштабный коэффициент и параметры эллипсоида — чаще всего эллипсоида Красовского.

В положениях о МСК приводятся сведения, необходимые для перехода между системами координат. Переходы выполняются по алгоритмам ГОСТ Р 51794–2001 «Системы координат» в двух направлениях:

• из глобальной системы координат WGS-84 (ПЗ-90) в МСК и обратно;
• из общегосударственной системы координат СК-95 в МСК и обратно.

Документ указывает номенклатурные номера листов топографических карт масштаба 1:100 000, на основе которых создаётся местная система, а также общую площадь и границы региона действия МСК.

Ключевой элемент любой МСК — параметры преобразований, связывающие государственную геоцентрическую систему (ПЗ-90) с локальной. Они включают семь значений:

1. сдвиги по осям X, Y, Z (Δx, Δy, Δz) — линейное смещение начала координат локальной системы относительно центра геоцентрической;
2. углы вращения (Wx, Wy, Wz) — ориентация осей МСК относительно осей глобальной системы;
3. масштабный коэффициент (m) — разница масштабов двух систем.

Для более точного регионального выравнивания дополнительно задаются семь аналогичных параметров перехода между СК-95 и конкретной МСК — так обеспечивается согласованность федеральных и местных геодезических данных при проектировании инженерных сетей, кадастровых измерениях и геодезическом контроле.

Эллипсоид в МСК

Математическая основа МСК — эллипсоид Красовского, на котором строится вся координатная сеть региона. Его параметры: большая полуось a = 6 378 245 м, сжатие 1/f = 298,3. Эллипсоид Красовского был разработан специально для территории бывшего СССР и наилучшим образом аппроксимирует форму геоида в пределах Евразии.

5.3. Форматы описания систем координат

Современные ГИС поддерживают несколько стандартных форматов описания систем координат:

1. Well-Known Text (WKT) — текстовый формат, подробно описывающий параметры проекции, датума и эллипсоида. Используется в большинстве ГИС-пакетов (ArcGIS, QGIS) и хранится, например, в файлах .prj.
2. PROJ string — компактная строковая форма, применяемая библиотекой PROJ. Пример: +proj=tmerc +lat_0=0 +lon_0=9 +k=1 +x_0=500000 +y_0=0 +ellps=GRS80 +units=m +no_defs
3. Коды EPSG / ESRI / IAU / SpatialReference.org — числовые идентификаторы систем координат. Например, EPSG:4326 соответствует системе WGS-84.

Файлы .prj содержат описание проекции в виде структуры WKT — сведения о проекции, датумах, единицах измерения и смещениях:

PROJCS["Projection_name",
 GEOGCS["GeographicCS",
 DATUM["Datum_name",
 SPHEROID["Krassowsky 1940",6378245,298.3],
 TOWGS84[0,0,0,0,0,0,0]],
 PRIMEM["Greenwich",0],
 UNIT["degree",0.01745329251994328]],
 PROJECTION["Transverse_Mercator"],
 PARAMETER["central_meridian",36],
 UNIT["metre",1]]

Эта структура читается большинством ГИС-программ и используется для точного восстановления параметров системы координат при открытии картографических файлов.

5.4. Пример описания: МСК — Москва

Полный перечень местных систем координат опубликован на официальном сайте Росреестра: rosreestr.gov.ru → Местные системы координат.

Для Москвы параметры МСК задаются следующим образом:

1. Широта начала отсчёта координат: 55° 40′ 00″ → +lat_0 = 55.666667 (пересчёт: 55 + 40/60);
2. Долгота осевого меридиана: 37° 30′ 00″ → +lon_0 = 37.5;
3. Масштабный коэффициент: +k = 1;
4. Эллипсоид и параметры перехода: +ellps = bessel, +towgs84 = 316.151,78.924,589.650,-1.57273,2.69209,2.34693,8.4507;
5. Единицы измерения: +units = m.

Итоговая строка описания в формате PROJ:

+proj=tmerc +lat_0=55.66666666667 +lon_0=37.5 +k=1 +x_0=16.098 +y_0=14.512
+ellps=bessel +towgs84=316.151,78.924,589.650,-1.57273,2.69209,2.34693,8.4507
+units=m +no_defs

Параметры x_0 и y_0 могут корректироваться вручную для точного совмещения с конкретным участком местности (в примере x_0 = 16.098, y_0 = 14.512); при этом в соседних областях возможны небольшие невязки координат.

6. Проекции

Если мысленно распрямить земной эллипсоид и положить его на плоскость, получится его плоское отображение — картографическая проекция. Любая подобная операция неизбежно связана с искажениями: трёхмерную поверхность эллипсоида невозможно перенести на двумерную плоскость без потерь. Тем не менее двумерные карты распространены повсеместно — не только потому, что глобус неудобен, но и благодаря математической простоте евклидовой геометрии, на которой основаны вычисления в большинстве программ и библиотек, включая PostGIS.

В отличие от эллипсоида, декартова плоскость даёт простые геометрические соотношения: площадь квадрата равна квадрату стороны, расстояние считается по теореме Пифагора. Такая модель идеальна для печатных карт, чертежей и экранов. На поверхности эллипсоида те же вычисления значительно сложнее — даже определение понятия «квадрат» требует уточнения.

То, как именно происходит преобразование эллипсоида в плоскость, зависит от задачи. Разные классы проекций оптимизируют разные свойства пространства; каждая система координат ограничена своей территорией и использует свои единицы (обычно метры или футы). При создании проекции приходится искать компромисс между четырьмя характеристиками:

• точностью измерения расстояний;
• сохранением формы (корректностью углов);
• направлением (ориентацией по сторонам света);
• площадью охвата.

Попытка охватить большую территорию приводит к потере точности либо требует нескольких систем координат. Чем шире охват, тем сильнее искажения: сохраняем форму — «плывут» расстояния, стремимся к точным измерениям — теряется форма.

Основные разновидности проекций:

• Цилиндрические — поверхность Земли «разворачивается» с цилиндра, обёрнутого вокруг неё. Самая известная — проекция Меркатора с цилиндром, касающимся экватора: вблизи полюсов серьёзные искажения, около экватора расстояния точнее.
• Конические — Землю мысленно оборачивают конусом и разворачивают его на плоскость; лучше сохраняют форму на средних широтах.
• Азимутальные — проецируют поверхность на плоскость, касающуюся эллипсоида в одной точке; подходят для полярных областей.

Каждая проекция может быть ориентирована по-разному: наклонно (ось не параллельна и не перпендикулярна экватору), экваториально (плоскость проекции перпендикулярна экватору) или поперечно (цилиндр или конус направлен вдоль экватора).

Комбинации этих типов формируют основные классы декартовых систем координат:

• Равновеликие азимутальные проекции Ламберта (LAEA) — хороши для измерения площадей и расстояний на больших территориях, но заметно искажают форму. Для США используется система US National Atlas (EPSG:2163) на метрах.
• Равноугольные конические проекции Ламберта (LCC) — сохраняют форму и направления, искажая площадь. Идеальны для средних широт, вытянутых с запада на восток: авиационные карты, национальные системы координат, карты штатов США.
• Универсальные поперечные проекции Меркатора (UTM) — достаточно точно сохраняют расстояния, форму и направления, однако каждая зона охватывает лишь 6° долготы: на весь земной шар нужно 60 зон. Для полюсов не подходят.
• Проекции Меркатора в глобальном масштабе — прекрасно сохраняют углы и направления, но сильно искажают размеры областей в высоких широтах. Наиболее известны World Mercator (SRID:3395) и Spherical Mercator (Google Mercator, SRID:3857) — современный стандарт веб-карт.
• Национальные системы координат — варианты UTM или LAEA, адаптированные для конкретных стран (например, US National Atlas Equal Area, SRID:2163).
• Системы координат штатов — узкие региональные варианты, обычно производные от UTM: высокая точность в пределах одного штата.
• Географическая проекция — WGS 84 (EPSG:4326) может храниться в типе geometry, но для корректной обработки чаще используется тип geography либо преобразование в плоскую систему. При работе с geometry PostGIS воспринимает долготу как X, широту как Y — внутреннее проецирование, известное как Plate Carrée (псевдопроекция).

6.1. Основные проекции: карусель

Существует около тридцати основных картографических проекций и около двадцати систем координат. Если всё это перемножить, получится уйма вариаций для карт — положение, которое вводит в ступор неподготовленного пользователя, особенно при выборе проекции проекта в QGIS. Сравните три принципиально разные проекции: каждая жертвует своим.

Карусель проекций

Цилиндрическая проекция Меркатора. Сохраняет углы, искажает площади и форму

Цилиндрическая проекция Ламберта. Сохраняет площади, искажает углы и форму

«Бабочка» Уотермана. Сохраняет форму, искажает углы и площади, имеет разрывы

← предыдущая следующая →

6.2. Проекция Web Mercator

Web Mercator, или WGS 84 / Pseudo Mercator, — стандарт веб-картографии. На этой проекции построены все веб-карты: 2GIS, Яндекс.Карты, OSM и прочие. Проекция работает в паре с системой координат WGS 84.

WGS 84 — всемирная геодезическая система Земли, глобальная универсальная система координат, используемая в морской, воздушной, наземной и космической навигации. За точку отсчёта взят геометрический центр планеты.

Комбинацию WGS 84 / Pseudo Mercator можно встретить под названием EPSG:3857 — это её официальное имя как картографического стандарта; в QGIS проекция фигурирует именно под ним.

Web Mercator отлично подходит для визуализации глобальных данных: она изначально разработана для отображения всей планеты — например, данных плотности населения Земли. Её также можно использовать для схем стран и регионов вблизи экватора, где искажения формы не так сильны, как на полюсах.

Однако удобство визуализации достигается ценой точности:

• расстояния и площади в проекции Меркатора искажены, особенно вдали от экватора;
• при пространственных вычислениях (расстояния между городами, площади буферов) ошибки могут достигать десятков процентов.

Если проект требует метрической точности, следует подбирать проекцию под регион интереса — например, UTM-зоны или локальные системы координат.

Насколько велико искажение — покажет тренажёр. Коэффициент растяжения масштаба в Web Mercator зависит только от широты: \(k(\varphi) = 1/\cos\varphi\). Двигайте ползунок широты: круг диаметром 100 км превращается на карте в круг, раздутый в k раз, а readout показывает точные числа для знакомых городов.

6.3. Проекция UTM zone X

UTM, или универсальная поперечная проекция Меркатора, — универсальная проекция для работы с городами, регионами и небольшими странами. В UTM весь мир разбит на равные прямоугольники, поэтому сильных искажений форм и площадей внутри зоны нет.

Существует несколько типов проекций с разными системами координат: например, ED50, используемая только в Европе и частично охватывающая Россию, или универсальная WGS 84, в которой есть все страны мира. Поэтому лучше использовать UTM в паре с WGS 84.

Для правильного применения проекции нужно знать номер и индекс зоны. С индексом просто: всё, что севернее экватора, имеет индекс N, южнее — индекс S. С зоной посложнее: мир разбит на 60 зон с шагом 6°, зоны пронумерованы слева направо. Для расчёта используется формула

где N — номер зоны, L — долгота объекта в градусах (результат округляется вверх).

Так, Москва и Сочи находятся в зоне 37N, а Астана и Ханты-Мансийск — в зоне 42N. Проверьте формулу (4.1) на калькуляторе: введите долготу — тренажёр вычислит зону и подсветит её на ленте из 60 зон.

WGS 84 / UTM zone X подходит для небольших стран и регионов: для Албании и Липецкой области — идеально, а вот для Грузии и Красноярского края — уже нет. В целом в проекции UTM лучше всего работать с картами и схемами городов или сопоставимых по масштабу территорий.

6.4. Проекция МСК-X зона X

МСК (местные системы координат) — российский картографический стандарт, применяемый для всей геодезической и инженерной документации. Все проекты, проходящие государственную экспертизу, обязаны использовать именно эту систему координат. Она основана на модифицированной проекции Меркатора и по принципу построения похожа на UTM, но адаптирована под территориальное деление России.

Обычно для каждого региона существует отдельная МСК, однако есть исключения: в Красноярском крае действуют три системы координат из-за большой площади региона. Номер МСК совпадает с номером субъекта федерации: МСК-46 — Курская область, МСК-11 — Республика Коми и т. д.

Система имеет специфику: внутри одного региона может быть несколько зон одной МСК с разными координатами. Чаще всего границы зон проходят по административным границам районов, но возможны исключения. МСК не поддерживается большинством ГИС-программ напрямую, поэтому её приходится добавлять вручную, причём каждую зону отдельно.

7. Выбор системы пространственной привязки для хранения данных

Вопрос, какая пространственная система координат лучше подходит для конкретного набора данных, встречается часто, но однозначного ответа не имеет: выбор зависит от масштаба проекта, характера анализируемых объектов и того, какие метрики требуется сохранять точнее — расстояния, углы или форму.

В справочниках и документации PostGIS есть перечни распространённых систем координат с их идентификаторами EPSG и SRID. В PostGIS идентификаторы, как правило, совпадают с кодами EPSG, но в других базах это не всегда так: одна и та же система может иметь разные числовые обозначения в зависимости от источника определений. Например, Esri применяет собственные SRID, часто эквивалентные EPSG, но лучше интегрированные в ArcGIS.

Если работа ведётся с региональными данными (одна страна или регион), предпочтительны национальные или государственные системы координат: достаточная точность измерений и корректное отображение объектов без значительных искажений.

Когда нужно только отобразить карту. Если задача состоит лишь в визуализации данных, а не в точных измерениях, выбор проекции Меркатора вполне оправдан. Несмотря на значительные искажения размеров по мере удаления от экватора, у неё важное преимущество: картографические сервисы (например, Google Maps) используют её благодаря удобству отображения и единой системе координат, охватывающей весь земной шар.

7.1. Расчёт расстояний в разных системах координат

Для иллюстрации различий рассчитаем расстояния между аэропортами крупных городов, используя разные модели Земли и проекции:

WITH g1 AS (
    SELECT city, geog FROM ch03.city_airports
    WHERE city IN ('Beijing', 'Cairo', 'Sydney')
),
g2 AS (
    SELECT city, geog FROM ch03.city_airports
    WHERE city IN ('Melbourne', 'Philadelphia', 'São Paulo', 'Shanghai', 'Tel Aviv')
)
SELECT
    g1.city AS city1,
    g2.city AS city2,
    (ST_Distance(g1.geog, g2.geog, use_spheroid => false) / 1000)::integer AS sp,       -- ❶ расстояние на сфере
    (ST_Distance(g1.geog, g2.geog, use_spheroid => true) / 1000)::integer AS spwgs84,  -- ❷ расстояние на сфероиде
    (ST_Distance(
        ST_Transform(g1.geog::geometry, 3857),
        ST_Transform(g2.geog::geometry, 3857)
     ) / 1000)::integer AS wm                      -- ❸ расстояние в Web Mercator
FROM g1 CROSS JOIN g2
WHERE g1.city <> g2.city
ORDER BY g1.city, g2.city;

Во многих прикладных задачах с протяжёнными расстояниями применяются именно сфероидальные или сферические расчёты. Вычисления на сфере дают менее точный результат — Земля рассматривается как идеальный шар; сфероид WGS 84 обеспечивает максимально возможную точность на больших протяжённостях.

Из таблицы видно, что Web Mercator значительно уступает по точности сфероидальной модели WGS 84: расстояние Пекин — Филадельфия в проекции Меркатора (21 354 км) почти вдвое расходится с реальной величиной (11 070 км). Сферические вычисления, напротив, дают удовлетворительные результаты и для коротких, и для протяжённых расстояний.

7.2. Буферные зоны в разных системах

Проверим, как искажения проявляются при вычислении площадей: рассмотрим десятиметровую буферную зону в различных точках земного шара:

WITH g1 AS (
  SELECT city,
    ST_Area(
      ST_Buffer(
        ST_Transform(geog::geometry, upgis_utmzone_wgs84(geog::geometry)), 10
      )
    )::numeric(10,2) AS utm,   -- ❶ буфер UTM

    ST_Area(
      ST_Transform(
        ST_Buffer(
          ST_Transform(geog::geometry, upgis_utmzone_wgs84(geog::geometry)), 10
        ), 4326
      )::geography
    )::numeric(10,2) AS geog,  -- ❷ буфер UTM на сфероиде

    ST_Area(
      ST_Transform(
        ST_Buffer(
          ST_Transform(geog::geometry, upgis_utmzone_wgs84(geog::geometry)), 10
        ), 3857
      )
    )::numeric(10,2) AS wm     -- ❸ буфер UTM в Web Mercator

  FROM ch03.city_airports
  WHERE city IN ('Arlhangelsk', 'Bergen', 'Boston', 'Helsinki', 'Honolulu',
                 'Murmansk', 'Oslo', 'Paris', 'San Francisco', 'St. Peters')
)
SELECT g1.*, geog - utm AS diff_geog_utm, wm - utm AS diff_wm_utm
FROM g1
ORDER BY diff_wm_utm ASC;

Буфер создаётся как круговой полигон радиусом 10 метров с центром в заданной точке в проекции UTM, затем преобразуется в другую систему, где вычисляется площадь:

Чем севернее город, тем чудовищнее искажение Web Mercator: в Мурманске площадь 10-метрового буфера завышена в 7,6 раза. Разница между UTM и сфероидом при этом — доли квадратного метра.

8. Пространственный анализ в PostGIS

PostGIS — расширение PostgreSQL, позволяющее выполнять геометрические и топологические операции с пространственными объектами. Основные инструменты включают буферизацию, пересечение, объединение и анализ сетей.

8.1. Буферизация

Буферизация — создание буферной зоны: области, граница которой отстоит на заданном расстоянии от границы исходного объекта (или объектов). Используется для анализа размещения объектов в пределах буферных зон — так называемого анализа окрестности. Например, все здания в радиусе 500 м от реки:

SELECT ST_Buffer(geom, 500) FROM rivers;

Классическая прикладная задача буферизации — расчёт водоохранных зон. Водный кодекс задаёт ширину зоны в зависимости от длины реки, и зона строится именно как буфер вдоль русла. Результат — не абстрактный полигон, а юридически значимая граница: внутри неё ограничено строительство, распашка, размещение стоянок.

8.2. Оверлейные операции

Операции наложения создают новые геометрии путём пересечения, объединения или исключения областей:

• ST_Intersection — вырезает пересекающуюся часть;
• ST_Union — объединяет геометрии;
• ST_SymDifference — возвращает области, принадлежащие только одной из фигур.

С оверлеем мы подробно поработаем в практике 10 — правда, средствами QGIS.

8.3. Пространственные запросы

PostGIS поддерживает запросы по пространственным отношениям между объектами:

ST_Within(g1.geom, g2.geom)
ST_Intersects(g1.geom, g2.geom)
ST_DWithin(g1.geom, g2.geom, distance)

Эти функции позволяют, например, найти все здания внутри границ парка или определить дороги, проходящие ближе 100 м от водоёма.

8.4. Центроиды и геометрические медианы

Для анализа распределения объектов используются функции ST_Centroid и ST_GeometricMedian. Первая возвращает центр геометрии, но не всегда располагается внутри неё; вторая устойчива к выбросам и подходит для анализа групп точек. Пример применения — определение центра активности пользователей в городе по геолокациям фотографий.

8.5. Анализ сетей: pgRouting

Расширение pgRouting выполняет графовые задачи в пространственной среде. Оно работает поверх геометрий типа LINESTRING и решает задачи:

• pgr_dijkstra — поиск кратчайшего пути;
• pgr_ksp — несколько альтернативных маршрутов;
• pgr_TSP — задача коммивояжёра;
• pgr_drivingDistance — определение зон доступности.

8.6. Растровый анализ

PostGIS поддерживает и растровые операции. Ключевые из них:

• анализ близости — создаёт растр, в котором каждой ячейке присваивается значение ближайшего объекта; применяется для построения зон влияния;
• анализ видимости (viewshed) — определяет участки, видимые с заданной точки, на основе цифровой модели рельефа.

9. Заключение

Понимание систем координат и их параметров — необходимое условие корректного использования пространственных данных. От выбора проекции и датума зависит точность всех последующих вычислений: от измерения расстояний до анализа плотности населения. Инструменты PostGIS, QGIS и pgRouting позволяют не только выполнять пространственные преобразования, но и строить сложные модели взаимодействия объектов, анализировать доступность территорий, исследовать сезонную динамику активности и выявлять закономерности распределения явлений. Грамотная работа с системами координат — фундамент всех направлений пространственного анализа в современной геоинформатике.

Контрольные вопросы

• Постройте лестницу «геоид → эллипсоид → датум» и объясните роль каждой ступени.
  Геоид — эквипотенциальная поверхность поля тяжести, физически осмысленная, но математически неудобная (бугристая). Эллипсоид — гладкая аппроксимация геоида двумя параметрами (полуось и сжатие). Датум — правило привязки эллипсоида к телу Земли: сдвиги, повороты и масштаб. Только все три вместе дают работающую систему координат.
• Чем WGS 84 отличается от «просто эллипсоида» и где он применяется?
  WGS 84 — это эллипсоид плюс модель геоида EGM96 и геоцентрический датум (начало — в центре масс Земли). На нём работает GPS, морская, воздушная и космическая навигация; параметры: a = 6 378 137 м, обратное сжатие 298,257223563.
• Что такое МСК, на каком эллипсоиде они строятся и из каких параметров состоит переход?
  Местные системы координат — российский стандарт для инженерной и кадастровой документации; номер МСК совпадает с номером субъекта РФ. Основа — эллипсоид Красовского (a = 6 378 245 м, 1/f = 298,3). Переход задают семь параметров: сдвиги Δx, Δy, Δz, углы вращения Wx, Wy, Wz и масштабный коэффициент m; направления — WGS-84/ПЗ-90 ↔ МСК и СК-95 ↔ МСК по ГОСТ Р 51794–2001.
• Назовите три формата описания систем координат и приведите пример каждого.
  WKT — развёрнутый текст (PROJCS[…DATUM[…SPHEROID["Krassowsky 1940"…]]]), хранится в .prj; PROJ string — компактная строка (+proj=tmerc +lat_0=… +ellps=bessel …); числовые коды EPSG/ESRI (EPSG:4326 — WGS 84, EPSG:3857 — Web Mercator).
• Между какими четырьмя характеристиками ищет компромисс любая проекция? Приведите примеры выбора.
  Точность расстояний, сохранение формы (углов), направление и площадь охвата. Меркатор сохраняет углы, жертвуя площадями; равновеликая Ламберта — наоборот; UTM балансирует всё, но в узкой зоне 6°; «бабочка» Уотермана сохраняет форму ценой разрывов.
• Почему в Web Mercator нельзя мерить расстояния и площади? Насколько велика ошибка?
  Масштаб растёт с широтой как k = 1/cos φ, площадь — как k². Реальные числа из лекции: расстояние Пекин — Филадельфия завышено с 11 070 до 21 354 км; площадь 10-метрового буфера в Мурманске — 2373 м² вместо 312 м² (в 7,6 раза). Для измерений нужны UTM, МСК или тип geography.
• Определите UTM-зону для точки с долготой 37,6° в. д. Какой индекс будет у зоны?
  N = (37,6 + 180)/6 = 36,3 → зона 37 (округление вверх). Точка севернее экватора — индекс N: зона 37N, в ней лежат Москва и Сочи. Код EPSG: 32637 (32600 + номер зоны).
• Почему площадь буфера ST_Buffer(…, 10) равна 312, а не 314 м²?
  По умолчанию ST_Buffer аппроксимирует круг многоугольником из 32 сторон (8 точек на четверть окружности), площадь которого чуть меньше площади круга π·10² ≈ 314 м². Точность повышается перегрузкой ST_Buffer с явным числом сегментов.
• Какие инструменты пространственного анализа предоставляет PostGIS? Назовите не меньше пяти.
  Буферизация (ST_Buffer); оверлей — ST_Intersection, ST_Union, ST_SymDifference; пространственные предикаты — ST_Within, ST_Intersects, ST_DWithin; центроиды и медианы — ST_Centroid, ST_GeometricMedian; маршрутизация pgRouting (pgr_dijkstra, pgr_ksp, pgr_TSP, pgr_drivingDistance); растровый анализ — близость и видимость (viewshed).

Источники

1. ГОСТ Р 51794–2001. Аппаратура радионавигационная глобальной навигационной спутниковой системы и глобальной системы позиционирования. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек. — М. : Изд-во стандартов, 2001.
2. Обе, Р. PostGIS в действии / Р. Обе, Л. Су. — М. : ДМК Пресс, 2022. — 754 с.
3. Snyder, J. P. Map Projections — A Working Manual / J. P. Snyder. — Washington : U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, 1987. — 383 p.
4. Местные системы координат — Росреестр : [сайт]. — URL: https://rosreestr.gov.ru/activity/geodeziya-i-kartografiya/mestnye-sistemy-koordinat/ (дата обращения: 18.08.2026).
5. PROJ Documentation : [сайт]. — URL: https://proj.org (дата обращения: 18.08.2026).
6. EPSG Geodetic Parameter Dataset — IOGP : [сайт]. — URL: https://epsg.org (дата обращения: 18.08.2026).