Лекция 6 Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства#

Презентация доступна здесь

Два вектора $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю: $\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 0$ .

Система векторов $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_k$ называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т.е. $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j\rangle=0$ при $i\ne j$ .
Система векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k$ называется ортонормированной, если все ее векторы попарно ортогональны и длина (норма) каждого вектора системы равна единице, т.е.

$\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j\rangle = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i\ne j. \end{cases}$

Говорят, что вектор $\mathbf{v}$ ортогонален (перпендикулярен) множеству $M$ , если он ортогонален каждому вектору из $M$ . Ортогональность векторов обозначается знаком перпендикуляра ( $\perp$ ).

Свойства ортогональных векторов#

Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.
Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.

В самом деле, пусть векторы $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k$ попарно ортогональны. Составим из них линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:

$\lambda_1\cdot \mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+\ldots+\lambda_k\mathbf{v}_k=\mathbf{o}.$

Умножим обе части равенства скалярно на вектор $\mathbf{v}_1$ :

$\lambda_1\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle + \lambda_2\underbrace{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle}_{0} + \ldots + \lambda_k\underbrace{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_k\rangle}_{0} = \underbrace{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{o}\rangle}_{0}.$

Следовательно, $\lambda_1\cdot|\mathbf{v}_1|^2=0$ . Так как $\mathbf{v}_1\ne \mathbf{o}$ , то $\lambda_1=0$ . Аналогично доказывается, что $\lambda_2=\ldots=\lambda_k=0$ , т.е. рассматриваемая линейная комбинация тривиальна. Значит, ортогональная система векторов $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k$ линейно независима.
Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.
Если вектор $\mathbf{u}$ ортогонален каждому вектору системы $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k$ , то он также ортогонален и любой их линейной комбинации.
Иными словами, если $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}_i$ , $i=1,\ldots,k$ , то $\mathbf{u}\perp \operatorname{Lin} (\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_k)$ .
Если вектор ортогонален подмножеству евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества, т.е.
$\mathbf{u}\perp M~\Rightarrow~ \mathbf{u}\perp \operatorname{Lin}(M).$
Если $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k$ — ортогональная система векторов, то

$|\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\ldots+\mathbf{v}_k|^2= |\mathbf{v}_1|^2+ |\mathbf{v}_2|^2+\ldots+|\mathbf{v}_k|^2.$

Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта#

Рассмотрим следующую задачу.
Дана линейно независимая система $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k$ векторов конечномерного евклидова пространства.
Требуется построить ортогональную систему $\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ldots,\mathbf{w}_k$ векторов того же пространства так, чтобы совпадали линейные оболочки:

$\operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots,\mathbf{v}_k)= \operatorname{Lin}(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_k).$

Решение задачи находится при помощи процесса ортогонализации Грама–Шмидта, выполняемого за $k$ шагов.

Положить $\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1$ .
Найти

$\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\alpha_{21}\cdot \mathbf{w}_1, \quad \text{где} \quad \alpha_{21}= \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w}_1\rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle}.$

Найти

$\mathbf{w}_3=\mathbf{v}_3-\alpha_{31} \mathbf{w}_1-\alpha_{32} \mathbf{w}_2,$
где

$\alpha_{31}=\frac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_1 \rangle}{\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1\rangle}, \quad \alpha_{32}= \frac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{w}_2 \rangle}{\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2\rangle};$
и так далее.

Найти

$\mathbf{w}_k=\mathbf{v}_k-\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_{ki}\mathbf{w}_i, \quad \text{где} \quad \alpha_{ki}= \frac{\langle \mathbf{v}_k,\mathbf{w}_i\rangle}{\langle \mathbf{w}_i, \mathbf{w}_i\rangle},~ i=1,\ldots,k-1.$

Поясним процесс ортогонализации.
Искомый на втором шаге вектор $\mathbf{w}_2$ представлен в виде линейной комбинации

$\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\alpha \mathbf{w}_1.$

Коэффициент $\alpha$ подбирается так, чтобы обеспечить ортогональность векторов $\mathbf{w}_2$ и $\mathbf{w}_1$ . Приравняем нулю их скалярное произведение:

$\langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_1\rangle= \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1\rangle- \alpha \langle \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1\rangle=0.$

Отсюда получаем, что $\alpha=\alpha_{21}$ (см. пункт 2 алгоритма).
Подбор коэффициентов $\alpha_{ji}$ на $j$ -м шаге алгоритма осуществляется так, чтобы искомый вектор $\mathbf{w}_j$ был ортогонален всем ранее найденным векторам $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_{j-1}$ .

Пример расчетов#

. Даны системы векторов евклидовых пространств:

$x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,\quad y=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\!,\quad z=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

— элементы пространства $\mathbb{R}^2$ со скалярным произведением:

$\langle x,y\rangle= x^T\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot y= 2\cdot x_1\cdot y_1+x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1+x_2\cdot y_2\,;$

Провести ортогонализацию данных векторов.

Решение. Заметим, что система векторов $x,\,y,\,z$ линейно зависимая, так как $x$ и $y$ пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонализации Грама–Шмидта с учетом пункта 3 замечаний 8.11.

Полагаем $\mathbf{u}=x$ .
Вычисляем

$\alpha_{21}=\frac{\langle y,\mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}= \frac{2\!\cdot\!2\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+ 0\!\cdot\!2+0\!\cdot\!0}{2\!\cdot\!1\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+ 0\!\cdot\!1+0\!\cdot\!0}=2$

и находим

$\mathbf{v}=y-\alpha_{21}\mathbf{u}= \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-2\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}.$

Получили нулевой вектор.

Вычисляем

$\alpha_{31}=\frac{\langle z,\mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle}= \frac{2\!\cdot\!0\!\cdot\!1+ 0\!\cdot\!0+ 1\!\cdot\!1+1\!\cdot\!0}{2\!\cdot\!1\!\cdot\!1+ 1\!\cdot\!0+0\!\cdot\!1+ 0\!\cdot\!0}=\frac{1}{2}\,;$

$\alpha_{32}=0$ согласно пункту 3 замечаний 8.11, так как $\mathbf{v}=\mathbf{o}$ , и находим

$\mathbf{w}=z-\alpha_{31}\cdot \mathbf{u}-\alpha_{32}\cdot \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}- 0\cdot\! \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix}\!.$

Проверим условие ортогональности:

$\langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle= 2\cdot1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+ 1\cdot1+ 0\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+0\cdot1=0.$

Для получения ортонормированной системы исключаем нулевой вектор $\mathbf{v}=\mathbf{o}$ , а остальные нормируем (см. пункт 4 замечаний 8.11):

$\begin{gathered} |\mathbf{u}|= \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle}= \sqrt{2}\,;\\[5pt] |\mathbf{w}|= \sqrt{\langle \mathbf{w},\mathbf{w}\rangle}= \sqrt{2\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot\!\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)\!\cdot1+ 1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+ 1\cdot1}= \sqrt{1/2}\,;\\[5pt] \widehat{\mathbf{u}}= \frac{1}{|\mathbf{u}|}\cdot \mathbf{u}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix}\!,\\[5pt] \widehat{\mathbf{w}}= \frac{1}{|\mathbf{w}|}\cdot \mathbf{w}= \frac{1}{\sqrt{1/2}}\cdot\! \begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\end{pmatrix}\!. \end{gathered}$

Таким образом, для системы трех векторов $x,\,y,\,z$ построена ортогональная система из трех векторов $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ и ортонормированная система из двух векторов $\widehat{\mathbf{u}},\widehat{\mathbf{w}}$ . Линейные оболочки этих трех систем совпадают между собой (и со всем пространством $\mathbb{R}^2$ ).

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства#

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$ евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

$\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle = 0 \quad \text{при} \quad i \neq j, \quad i = 1, 2, \ldots, n, \quad j = 1, 2, \ldots, n.$

Ортонормированный базис#

Базис $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$ евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

$\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{если} \ i = j, \\ 0, & \text{если} \ i \neq j, \end{cases} \quad i = 1, 2, \ldots, n, \quad j = 1, 2, \ldots, n.$

Теорема В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей#

Пусть $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$ — базис евклидова пространства, в котором векторы $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ имеют координаты $x_1, x_2, \ldots, x_n$ и $y_1, y_2, \ldots, y_n$ соответственно, т.е.

$\mathbf{x} = x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 + \ldots + x_n \mathbf{e}_n, \quad \mathbf{y} = y_1 \mathbf{e}_1 + y_2 \mathbf{e}_2 + \ldots + y_n \mathbf{e}_n.$

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 + \ldots + x_n \mathbf{e}_n, \, y_1 \mathbf{e}_1 + y_2 \mathbf{e}_2 + \ldots + y_n \mathbf{e}_n \rangle = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_i y_j \langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle.$

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x^T \cdot G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n) \cdot y,$

где $x = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix}^T$ , $y = \begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix}^T$ — координатные столбцы векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ , а $G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$ — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений:

$G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n) = \begin{pmatrix} \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1 \rangle & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n \rangle \\ \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1 \rangle & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_1 \rangle & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{e}_n, \mathbf{e}_n \rangle \end{pmatrix}.$

Преимущества ортонормированного базиса#

Для ортонормированного базиса $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$ формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама $G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n)$ ортонормированной системы $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$ равна единичной матрице: $G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n) = E$ .

В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и находится по формуле:
$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n,$
где $x_1, \dots, x_n$ — координаты вектора $\mathbf{x}$ , а $y_1, \dots, y_n$ — координаты вектора $\mathbf{y}$ .
В ортонормированном базисе длина вектора вычисляется по формуле:
$|\mathbf{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2},$
где $x_1, \dots, x_n$ — координаты вектора $\mathbf{x}$ .
Координаты вектора относительно ортонормированного базиса находятся при помощи скалярного произведения по формулам:
$x_1 = \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_1 \rangle, \dots, x_n = \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_n \rangle.$

В самом деле, умножая обе части равенства на , получаем:
$\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_1 \rangle = x_1 \underbrace{\langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1 \rangle}_{1} + x_2 \underbrace{\langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \rangle}_{0} + \dots + x_n \underbrace{\langle \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_n \rangle}_{0} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_1 \rangle.$

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому#

Пусть $(\mathbf{e}) = (\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n)$ и $(\mathbf{f}) = (\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)$ — два базиса евклидова пространства $\mathbb{E}$ , а $S$ — матрица перехода от базиса $(\mathbf{e})$ к базису $(\mathbf{f}) \colon \, (\mathbf{f}) = (\mathbf{e}) S$ .

Требуется найти связь матриц Грама систем векторов $(\mathbf{e})$ и $(\mathbf{f})$ .

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ в разных базисах:

$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})}}^T \cdot G(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n) \cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{e})} = {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T \cdot G(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n) \cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})},$

где $\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})}$ , $\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}$ , и $\mathop{y}\limits_{(\mathbf{e})}$ , $\mathop{y}\limits_{(\mathbf{f})}$ — координатные столбцы векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ в соответствующих базисах.

Подставляя в последнее равенство связи $\mathop{x}\limits_{(\mathbf{e})} = S \mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}$ , $\mathop{y}\limits_{(\mathbf{e})} = S \mathop{y}\limits_{(\mathbf{f})}$ , получаем тождество:

${\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T \cdot S^T \cdot G(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n) \cdot S \cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})} = {\mathop{x}\limits_{(\mathbf{f})}}^T \cdot G(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n) \cdot \mathop{\mathbf{y}}\limits_{(\mathbf{f})}.$

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

$G(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n) = S^T \cdot G(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n) \cdot S.$

Записав это равенство для ортонормированных базисов $(\mathbf{e})$ и $(\mathbf{f})$ , получаем:

$E = S^T E S,$

так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: $G(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n) = G(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n) = E$ .

Поэтому матрица $S$ перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: $S^{-1} = S^T$ .

Свойства определителя Грама#

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ линейно зависима, то существуют такие числа $x_1, x_2, \ldots, x_k$ , не равные нулю одновременно, что:

$x_1 \cdot \mathbf{v}_1 + x_2 \cdot \mathbf{v}_2 + \ldots + x_k \cdot \mathbf{v}_k = \mathbf{o}.$

Умножая это равенство скалярно на $\mathbf{v}_1$ , затем на $\mathbf{v}_2$ и т.д. на $\mathbf{v}_k$ , получаем однородную систему уравнений:

$G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) x = \mathbf{o},$

которая имеет нетривиальное решение $x = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_k \end{pmatrix}^T$ . Следовательно, её определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие: Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Определитель Грама не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ получены векторы $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k$ , то:

$\det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k) = \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle \cdot \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle \cdot \ldots \cdot \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{w}_k \rangle.$

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ последовательно строятся векторы:

$\mathbf{w}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \mathbf{w}_2 = \mathbf{v}_2 - \alpha_{21} \mathbf{w}_1, \quad \ldots, \quad \mathbf{w}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \alpha_{kj} \mathbf{w}_j.$

После первого шага определитель Грама не изменяется:

$\det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k).$

Выполнив с определителем $\det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k)$ следующие преобразования, получаем:

$\det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_k).$

Продолжая аналогично, получаем после $k$ шагов:

$\det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k).$

Определитель Грама любой системы $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ векторов удовлетворяет двойному неравенству:

$0 \leqslant \det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) \leqslant \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle \cdot \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle \cdot \ldots \cdot \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{v}_k \rangle.$

Ортогональные дополнения евклидова пространства#

Ортогональным дополнением непустого подмножества M евклидова пространства $\mathbb{E}$ называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из M. Ортогональное дополнение обозначается

$M^{\perp}= \Bigl\{ \mathbf{v}\colon\, \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=0,~ \forall \mathbf{w}\in M \Bigr\}.$

Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.

Ортогональным дополнением нулевого подпространства $\{\mathbf{o} \} \triangleleft \mathbb{E}$ служит все пространство $\mathbb{E} \colon\, \{\mathbf{o} \}^{\perp}= \mathbb{E}$ . Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство $\mathbb{E}^{\perp}= \{\mathbf{o} \}$ .
Пусть в пространстве $V_3$ радиус-векторов (с началом в точке O) заданы три взаимно перпендикулярных радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$ . Тогда ортогональным дополнением вектора $\overrightarrow{OA}$ является множество радиус-векторов на плоскости, содержащей векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$ , точнее, $\{\overrightarrow{OA}\}^{\perp}= \operatorname{Lin}(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})$ . Ортогональным дополнением векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор $\overrightarrow{OC}\colon \{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\}^{\perp}= \operatorname{Lin} (\overrightarrow{OC})$ . Ортогональным дополнением трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор: $\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}^{\perp}= \{\overrightarrow{OO}\}$ .
В пространстве $P_2(\mathbb{R})$ многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество $P_0(\mathbb{R})$ - многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена $p_2(x)=ax^2+bx+c$ на постоянный многочлен $p_0(x)=d\colon \langle p_2(x),p_0(x)\rangle= a\cdot0+b\cdot0+c\cdot d=0$ . Поскольку величина $d$ произвольная, то $c=0$ . Следовательно, ортогональным дополнением подмножества $P_0(\mathbb{R})$ является множество многочленов из $P_0(\mathbb{R})$ с нулевым свободным членом.

Свойства ортогонального дополнения#

Рассмотрим свойства ортогональных дополнений подмножеств n-мерного евклидова пространства $\mathbb{E}$ .

Ортогональное дополнение $M^{\perp}$ непустого подмножества $M\subset \mathbb{E}$ является линейным подпространством, т.е. $M^{\perp} \triangleleft \mathbb{E}$ , и справедливо включение $M\subset (M^{\perp})^{\perp}$ .

В самом деле, множество $M^{\perp}$ замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число, так как сумма двух векторов, ортогональных $M$ , ортогональна $M$ , и произведение вектора, ортогонального $M$ , на любое число является вектором, ортогональным $M$ . Докажем включение $M\subset (M^{\perp})^{\perp}$ . Пусть $\mathbf{w}\in M$ , тогда $\langle \mathbf{w},\mathbf{v}\rangle=0$ для любого вектора $\mathbf{v}\in M^{\perp}$ . Но это означает, что $\mathbf{w}\subset (M^{\perp})^{\perp}$ .

Пересечение любого непустого подмножества $M\subset \mathbb{E}$ со своим ортогональным дополнением есть нулевой вектор: $M\cap M^{\perp}= \{\mathbf{o}\}$ .

Действительно, только нулевой вектор ортогонален самому себе.

Если $L$ - подпространство $\mathbb{E}$ ~ $(L\triangleleft \mathbb{E})$ , то $\mathbb{E}=L\oplus L^{\perp}$ .

Действительно, возьмем в $L$ ортогональный базис $(\mathbf{e})= (\mathbf{e}_1, \ldots,\mathbf{e}_k)$ . Дополним его векторами $(\mathbf{f})= (\mathbf{f}_{k+1},\ldots, \mathbf{f}_n)$ до ортогонального базиса $(\mathbf{e}),\,(\mathbf{f})$ всего пространства $\mathbb{E}$ . Тогда произвольный вектор $\mathbf{w}\in \mathbb{E}$ можно представить в виде суммы

$\mathbf{w}= \underbrace{\sum_{i=1}^{k}\mathbf{w}_i \mathbf{e}_i}_{\mathbf{u}}+ \underbrace{\sum_{j=k+1}^{n}\mathbf{w}_j \mathbf{f}_j}_{\mathbf{v}} =\mathbf{u}+ \mathbf{v},$

где $\mathbf{u}\in L$ , а $\mathbf{v}\in L^{\perp}$ , так как $\langle \mathbf{v},\mathbf{e}_i\rangle= \sum_{j=k+1}^{n}\mathbf{w}\langle \mathbf{f}_j, \mathbf{e}_i \rangle_{{}_{=0}}=0$ для $i=1,\ldots,k$ . Следовательно, любой вектор пространства $\mathbb{E}$ раскладывается по подпространствам $L$ и $L^{\perp}$ , т.е. $\mathbb{E}= L+L^{\perp}$ . Эта алгебраическая сумма является прямой суммой по свойству 2, поскольку $L\cap L^{\perp}=\{\mathbf{o}\}$ . Следовательно, $\mathbb{E}=L\oplus L^{\perp}$ .

Если $L\triangleleft \mathbb{E}$ , то $\dim{L^{\perp}}= \dim\mathbb{E}-\dim{L}$ .
Если $L$ - подпространство $\mathbb{E}$ , то $L=(L^{\perp})^{\perp}$ .

Из первого свойства следует включение $L\subset(L^{\perp})^{\perp}$ . Докажем, что $(L^{\perp})^{\perp}\subset L$ . Действительно, пусть $\mathbf{w}\in (L^{\perp})^{\perp}$ . По свойству 3: $\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}$ , где $\mathbf{u}\in L$ ,~ $\mathbf{v}\in L^{\perp}$ . Найдем скалярное произведение

$\underbrace{\langle \mathbf{w},\mathbf{v}\rangle}_{0}= \langle \mathbf{w}+ \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle= \underbrace{\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle }_{0}+\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle= \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.$

Следовательно, $\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0$ , и согласно аксиоме 4 скалярного произведения $\mathbf{v}=\mathbf{o}$ , поэтому $\mathbf{w}=\mathbf{u}+ \mathbf{v}= \mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}\in L$ . Значит, $(L^{\perp})^{\perp}\subset L$ . Из двух включений $L\subset (L^{\perp})^{\perp}$ и $(L^{\perp})^{\perp} \subset L$ следует равенство $L=(L^{\perp})^{\perp}$ .

Если $L_1\triangleleft \mathbb{E}$ и $L_2\triangleleft \mathbb{E}$ , то $(L_1+L_2)^{\perp}=L_1^{\perp}\cap L_2^{\perp}$ и $(L_1\cap L_2)^{\perp}= L_1^{\perp}+ L_2^{\perp}$ .

Последние свойства аналогичны свойствам алгебраических дополнений.

Нахождение ортогонального дополнения подпространства#

Ранее для описания подпространств линейных пространств использовались два способа описания (внешний и внутренний). Рассмотрим применение этих способов описания для нахождения ортогональных дополнений подпространств. Учитывая изоморфизм евклидовых пространств, будем рассматривать арифметическое пространство $\mathbb{R}^n$ со скалярным произведением (8.27).

Для заданного подпространства $L \triangleleft \mathbb{R}^n$ требуется найти его ортогональное дополнение $L^{\perp}$ . В зависимости от способа описания подпространства $L$ используем одно из следующих двух утверждений.

Если подпространство $L \triangleleft \mathbb{R}^n$ задано как линейная оболочка $L = \operatorname{Lin}(a_1, \ldots, a_k)$ столбцов матрицы $A = \begin{pmatrix} a_1 & \cdots & a_k \end{pmatrix}$ , то множество решений однородной системы $A x = 0$ является его ортогональным дополнением $L^{\perp} \triangleleft \mathbb{R}^n$ , т.е.

$L = \operatorname{Lin}(a_1, \ldots, a_k) \quad \Rightarrow \quad L^{\perp} = \{ A x = 0 \} \tag{8.34}$

Если подпространство $L \triangleleft \mathbb{R}^n$ задано как множество решений однородной системы $A x = 0$ $m$ уравнений с $n$ неизвестными, то линейная оболочка столбцов $a_1^T, \ldots, a_m^T$ транспонированной матрицы $A^T = \begin{pmatrix} a_1^T & \cdots & a_m^T \end{pmatrix}$ является его ортогональным дополнением $L^{\perp} \triangleleft \mathbb{R}^n$ , т.е.

$L = \{ A x = 0 \} \quad \Rightarrow \quad L^{\perp} = \operatorname{Lin}\begin{pmatrix} a_1^T & \cdots & a_m^T \end{pmatrix} \tag{8.35}$

где $a_i^T$ — $i$ -й столбец матрицы $A^T$ .

Докажем, например, первое утверждение. Линейное однородное уравнение

$a_{i\,1} \cdot x_1 + a_{i\,2} \cdot x_2 + \ldots + a_{i\,n} \cdot x_n = 0$

можно записать при помощи скалярного произведения $\langle \mathbf{a}_{i}, \mathbf{x} \rangle = 0$ , так как $\langle \mathbf{a}_{i}, \mathbf{x} \rangle = (a_{i})^T x$ по формуле (8.27). Тогда множество $\{\langle \mathbf{a}_{i}, \mathbf{x} \rangle = 0\}$ решений одного уравнения совпадает с множеством векторов, ортогональных $\mathbf{a}_i$ .

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения#

Квадратная симметрическая матрица $G(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ , составленная из скалярных произведений системы векторов $e_1, e_2, \ldots, e_n$ , называется матрицей Грама

$G(e_1, e_2, \ldots, e_n) = \begin{pmatrix} \langle e_1, e_1 \rangle & \langle e_1, e_2 \rangle & \cdots & \langle e_1, e_n \rangle \\ \langle e_2, e_1 \rangle & \langle e_2, e_2 \rangle & \cdots & \langle e_2, e_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle e_n, e_1 \rangle & \langle e_n, e_2 \rangle & \cdots & \langle e_n, e_n \rangle \end{pmatrix}$

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть $(e) = (e_1, \ldots, e_n)$ и $(f) = (f_1, \ldots, f_n)$ — два базиса евклидова пространства $E$ , а $S$ — матрица перехода от базиса $(e)$ к базису $(f)$ : $(f) = (e)S$ . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов $(e)$ и $(f)$ .

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов $x$ и $y$ в разных базисах:

$\langle x, y \rangle = x_{(e)}^T \cdot G(e_1, \ldots, e_n) \cdot y_{(e)} = x_{(f)}^T \cdot G(f_1, \ldots, f_n) \cdot y_{(f)},$

где $x_{(e)}, x_{(f)}$ и $y_{(e)}, y_{(f)}$ — координатные столбцы векторов $x$ и $y$ в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи $x_{(e)} = S x_{(f)}$ , $y_{(e)} = S y_{(f)}$ , получаем тождество

$x_{(f)}^T \cdot S^T \cdot G(e_1, \ldots, e_n) \cdot S \cdot y_{(f)} = x_{(f)}^T \cdot G(f_1, \ldots, f_n) \cdot y_{(f)}.$

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

$G(f_1, \ldots, f_n) = S^T \cdot G(e_1, \ldots, e_n) \cdot S.$

Записав это равенство для ортонормированных базисов $(e)$ и $(f)$ , получаем $E = S^T E S$ , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: $G(e_1, \ldots, e_n) = G(f_1, \ldots, f_n) = E$ . Поэтому матрица $S$ перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: $S^{-1} = S^T$ .

Определитель Грама и его свойства#

Определитель матрицы $G(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$ называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов:#

Система векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ линейно зависима, то существуют такие числа $x_1, x_2, \ldots, x_k$ , не равные нулю одновременно, что:

$x_1 \cdot \mathbf{v}_1 + x_2 \cdot \mathbf{v}_2 + \ldots + x_k \cdot \mathbf{v}_k = \mathbf{o}.$

Умножая это равенство скалярно на $\mathbf{v}_1$ , затем на $\mathbf{v}_2$ и т.д., получаем однородную систему уравнений:

$G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) x = \mathbf{o},$

которая имеет нетривиальное решение $x = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_k \end{pmatrix}^T$ . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие:
Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Изменение определителя Грама при ортогонализации#

Определитель Грама $\det{G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k)}$ не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ получены векторы $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k$ , то:

$\det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k) = \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle \cdot \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle \cdot \ldots \cdot \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{w}_k \rangle.$

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ последовательно строятся векторы:

$\mathbf{w}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \mathbf{w}_2 = \mathbf{v}_2 - \alpha_{21} \mathbf{w}_1, \quad \ldots, \quad \mathbf{w}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \alpha_{kj} \mathbf{w}_j.$

После первого шага определитель Грама не изменяется:

$\det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k).$

Выполнив преобразования, получаем:

$\det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_k).$

Продолжая аналогично, получаем после $k$ шагов:

$\det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k).$

Матрица $G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k)$ Грама ортогональной системы векторов $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ является диагональной, так как $\langle \mathbf{w}_i, \mathbf{w}_j \rangle = 0$ при $i \neq j$ . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

$\det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k) = \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle \cdot \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle \cdot \ldots \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{w}_k \rangle.$

3. Оценка определителя Грама#

Определитель Грама любой системы $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ векторов удовлетворяет двойному неравенству:

$0 \leq \det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) \leq \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle \cdot \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle \cdot \ldots \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{v}_k \rangle.$

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k$ , для которых:

$\det G(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k) = \det G(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_k) > 0.$

Замечания#

Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.
Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1 и 3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Метрические приложения определителя Грама#

Пусть $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_k$ — линейно независимая система векторов $n$ -мерного евклидова пространства ( $k \leqslant n$ ). Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через $\boldsymbol{h}_j$ — перпендикуляр, опущенный из конца вектора $\boldsymbol{v}_j$ на подпространство $\operatorname{Lin}(\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_{j-1})$ , $j = 2, \ldots, k$ .

Обозначим:

$V_{\ast \boldsymbol{v}_1} = |\boldsymbol{v}_1|$ — одномерный объем — длина вектора $\boldsymbol{v}_1$ ;
$V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2} = V_{\ast \boldsymbol{v}_1} \cdot |\boldsymbol{h}_2| = |\boldsymbol{v}_1| \cdot |\boldsymbol{h}_2|$ — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ ;
$V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3} = V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2} \cdot |\boldsymbol{h}_3| = |\boldsymbol{v}_1| \cdot |\boldsymbol{h}_2| \cdot |\boldsymbol{h}_3|$ — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3$ ;
$V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_k} = V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_{k-1}} \cdot |\boldsymbol{h}_k| = |\boldsymbol{v}_1| \cdot |\boldsymbol{h}_2| \cdot \ldots \cdot |\boldsymbol{h}_k|$ — $k$ -мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_k$ .

Проводя ортогонализацию системы векторов $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_k$ , получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры $\boldsymbol{h}_1 = \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{h}_2, \ldots, \boldsymbol{h}_k$ . Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем:

$V_{\ast \boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_k}^2 = |\boldsymbol{h}_1|^2 \cdot |\boldsymbol{h}_2|^2 \cdot \ldots \cdot |\boldsymbol{h}_k|^2 = \det G(\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_k),$

т.е. определитель Грама векторов $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_k$ равен квадрату $k$ -мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора $\boldsymbol{v}$ до подпространства $L$ называется наименьшее значение длин векторов $(\boldsymbol{v} - \boldsymbol{l})$ , где $\boldsymbol{l} \in L$ , т.е.

$d = \min_{\boldsymbol{l} \in L} |\boldsymbol{v} - \boldsymbol{l}|.$

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором $\boldsymbol{v}$ и подпространством $L$ называется наименьший угол $\varphi$ между вектором $\boldsymbol{v}$ и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

$\varphi = \min_{\boldsymbol{l} \in L} \left( \arccos \frac{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{l} \rangle}{|\boldsymbol{v}| \cdot |\boldsymbol{l}|} \right).$

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что:

1) расстояние $d$ от конца вектора $\boldsymbol{v}$ до подпространства $L$ равно длине перпендикуляра $\boldsymbol{h}$ , опущенного из конца вектора $\boldsymbol{v}$ на подпространство $L$ , т.е. $d = |\boldsymbol{h}|$ ;

2) угол между ненулевым вектором $\boldsymbol{v}$ и подпространством $L$ равен углу между вектором $\boldsymbol{v}$ и его ортогональной проекцией на подпространство $L$ .

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор $\boldsymbol{v}$ и подпространство $L = \operatorname{Lin}(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r)$ , причем векторы $\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r$ линейно независимы. Тогда

$V_{\ast \boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{v}} = V_{\ast \boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r} \cdot |\boldsymbol{h}|,$

где $\boldsymbol{h}$ — ортогональная составляющая вектора $\boldsymbol{v}$ относительно подпространства $L$ . Отсюда

$\boldsymbol{h} = \frac{V_{\ast \boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{v}}}{V_{\ast \boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r}}.$

Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина $|\boldsymbol{h}|$ ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора $\boldsymbol{v}$ до подпространства $L = \operatorname{Lin}(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r)$ ) находится по формуле:

$|\boldsymbol{h}| = \sqrt{\frac{\det G(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{v})}{\det G(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_r)}}.$

А угол $\varphi$ между ненулевым вектором $\boldsymbol{v}$ и подпространством находится по формуле:

$\varphi = \arcsin \frac{|\boldsymbol{h}|}{|\boldsymbol{v}|}.$